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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\cos C = \frac{2 a - c}{2 b}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $B D = 5$ ， $b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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2、若一只电子蛐蛐从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在 $3$ 次运动后这只电子蛐蛐仍停留在下底面的概率是.

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3、已知向量 $\vec{a} = (2, m)$ ， $\vec{b} = (- 1, m)$ ，若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $|\vec{a}| =$ .

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4、三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B = P C$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ ， $A B ⊥ A C$ ，且平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ ，记三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $V$ ，内切球的半径为 $r$ ，则（）

A、二面角 $B - P A - C$ 大于 $\frac{π}{2}$ B、二面角 $A - P B - C$ 小于 $\frac{π}{4}$ C、 $r < \sqrt{2} - 1$ D、 $\frac{2}{r} - \frac{1}{V} \geq \sqrt{6} + 2$

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5、已知二项展开式 $f (x) = {(x^{3} - \frac{2}{x})}^{4}$ ，下列说法正确的有（ $i$ 为虚数单位）（）

A、 $f (x)$ 的展开式中的常数项是 $- 32$ B、 $f (x)$ 的展开式中的各项系数之和为 $2^{4}$ C、 $f (i) = f (- i)$ D、 $f (1 + i) < 0$

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6、为研究某机器的连续使用时长 $x$ （小时）和生产产品的合格率 $y$ 之间的关系，某课题研究小组采集了 $15$ 组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点 $P, Q$ 后，下列说法正确的是（）

A、经验回归直线的斜率可能不变 B、样本的线性相关程度更高 C、样本相关系数 $| r |$ 变小 D、残差平方和变小

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7、已知曲线系 $C$ ： $a_{n} x^{2} + y^{2} = 1$ ，离心率为 ${e^{'}}_{n}$ ，曲线系 $Γ$ ： $x^{2} - a_{n} y^{2} = 1$ ，离心率为 ${e^{″}}_{n}$ ，若 $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}, n \in N^{*}$ ，则（）

A、 ${e^{'}}_{n} \cdot {e^{″}}_{n}$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$ B、 ${e^{'}}_{n} \cdot {e^{″}}_{n}$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{{e^{'}}_{n}}{{e^{″}}_{n}}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{{e^{'}}_{n}}{{e^{″}}_{n}}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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8、将函数 $y = x^{3} + 2$ 的图象绕坐标原点顺时针旋转 $θ$ 后第一次与 $x$ 轴相切，则 $\tan θ =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $5$

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9、某商场有甲乙丙三款价格相同，单张厚度与宽度也都相同的圆柱体形卷纸.其中甲款卷纸直接绕成圆柱体，圆柱底面直径为60mm；乙款卷纸绕在圆柱体空心纸筒上，纸筒直径为30mm，整个圆柱底面直径为75mm；丙款卷纸也绕在圆柱体空心纸筒上，纸筒直径为40mm，整个圆柱底面直径为80mm.三款卷纸中，性价比最高的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、都一样

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10、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 = 0$ ，直线 $l : m (x - 1) + n y = 0$ 与圆交于两点 $A, B$ ，若 $△ A B C$ 为直角三角形，则（）

A、 $m n = 0$ B、 $m + n = 0$ C、 $m + n = 1$ D、 $m^{2} + n^{2} = 1$

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11、对于函数 $f (x) = \sin 2 x$ 和 $g (x) = \cos x$ 有相同的（）

A、单调区间 B、最小正周期 C、对称中心 D、最小正零点

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12、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，根据下列条件不能求出 $a_{5}$ 的是（）

A、 $S_{9} = 10$ B、 $S_{4} + S_{6} = 10$ C、 $a_{4} + a_{6} = 10$ D、 $a_{2} + a_{3} + a_{10} = 10$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{x}, x < 2 \\ 1, x \geq 2 \end{cases}$ ，则 $f ({log}_{2} 3) =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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14、已知集合 $A = {x | x^{3} - x = 0}$ ， $B = {x | x^{2} + x = 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, - 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, \pm 1\}$

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15、法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图， $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\frac{\sqrt{3}}{3} b \sin A + a \cos B = c$ ，以 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F.

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 3$ ，且 $△ D E F$ 的周长为9，求 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} + \vec{A F} \cdot \vec{A C}$ ；

(3)、若 $△ D E F$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的角平分线 $A M$ 的取值范围.

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16、在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $b = 1$ ，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $\frac{a + b + c}{sin A + sin B + sin C}$ 等于（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{26 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{29}}{2}$

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17、已知函数 $f (x) = 2 e^{x} + \frac{a}{e^{x}} - (a - 2) x - 4 (a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a \in (- \infty, 2 e)$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $x \in (- \infty, 2]$ 上的零点个数.

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18、已知点 $E (- 2 \sqrt{2}, 0)$ ， $F (2 \sqrt{2}, 0)$ ， $A (2, - 1)$ ，直线 $E M$ ， $F M$ 相交于点 $M$ ，且它们的斜率之积是 $- \frac{1}{4}$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程 $Ω$ ；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $Ω$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $A P$ ， $A Q$ 的斜率之和为0，且 $∠ P A Q = \frac{π}{2}$ ，求 $△ P A Q$ 的面积.

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19、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为2的等边三角形， $D$ 为 $A C$ 的中点， $A A_{1} = 3$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、证明： $B D ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、当 $A_{1} D = 2 \sqrt{2}$ 时，求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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20、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = b_{4} - a_{4}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ ．

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