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相关试卷

1、已知 $z - i = \frac{1 + 3 i}{3 - i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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2、已知 $A (- 1, - 1), B (x, 3), C (2, 5)$ 三点共线，则 $x =$ （）

A、1 B、3 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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3、某市有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家．为掌握各类超市的营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则抽取中型超市的数量为（）

A、12 B、6 C、4 D、2

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4、将 $9$ 本不同的书（包括 $1$ 本数学书和 $1$ 本英语书）平均分给甲､乙､丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是.（用数字作答）

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5、已知 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ， $|\vec{A B}| = t$ ， $|\vec{A C}| = \frac{1}{t}$ ．若点P是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{A P} = \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{2 \vec{A C}}{|\vec{A C}|}$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最大值为．

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6、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 6 \sqrt{2}$ ， $∠ B A C = 45 °$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 的中点， $\sin ∠ B A D =$ ．

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7、如图，平行四边形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是用斜二测画法画出的水平放置的矩形 $O A B C$ 的直观图，若 $O^{'} A^{'} = 2 cm$ ， $O^{'} C^{'} = 3 cm$ ，则矩形 $O A B C$ 的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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8、在 $△ A B C$ 中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\vec{A D} = λ \vec{A C} (λ \in R)$ ，记 $∠ A B D = θ$ .下列命题中正确的是（）

A、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则 $c \sin θ = a \sin (B - θ)$ B、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则 $c \cos θ + b \cos (A + θ) = B D$ C、若 $λ \in [0, 1]$ ，则 $\frac{\sin θ}{a} + \frac{\sin (B - θ)}{c} = \frac{\sin B}{B D}$ D、若 $λ \in [0, 1]$ ，则 $a \cos (B - θ) + b \cos (A + θ) = c \cos θ$

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9、如图，圆台 $O_{1} O_{2}$ ，在轴截面ABCD中， $A B = A D = B C = \frac{1}{2} C D = 2$ ，下面说法正确的是（）

A、线段 $A C = 2 \sqrt{3}$ B、该圆台的表面积为 $12 π$ C、该圆台的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ D、沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5

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10、下列说法中正确的是（）

A、若 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{b} // \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{c}$ B、对于向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{c}$ ，有 $(\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}) \cdot \overset{⃑}{c} = \overset{⃑}{a} \cdot (\overset{⃑}{b} \cdot \overset{⃑}{c})$ C、向量 $\overset{⃑}{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\overset{⃑}{e_{2}} = (5, 7)$ 能作为所在平面内的一组基底 D、设 $\overset{⃑}{m}$ ， $\overset{⃑}{n}$ 为非零向量，则“存在负数λ，使得 $\overset{⃑}{m} = λ \overset{⃑}{n}$ ”是“ $\overset{⃑}{m} \cdot \overset{⃑}{n} < 0$ ”的充分而不必要条件

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11、设 $M$ 是 $△ A B C$ 内一点，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \sqrt{3}, ∠ B A C = 30^{\circ}$ ，定义 $f (M) = (m, n, p)$ ，其中 $m, n, p$ 分别是 $△ M B C, △ M C A, △ M A B$ 的面积，若 $f (M) = (\frac{1}{2}, x, y)$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值是（）

A、 $9 (\sqrt{3} + 1)$ B、18 C、16 D、9

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12、已知圆锥的底面半径为2，高为 $2 \sqrt{3}$ ，则其侧面积为（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、 $4 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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13、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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14、已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 3 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- i$ D、 $i$

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15、如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧， $B C = C D = 2$ .

(1)、已知 $A B = 2$ ，且 $A C = A D$
（i）当 $\cos ∠ C A D = \frac{2}{3}$ 时，求 $△ A B C$ 的面积；
（ii）若 $∠ A B C = 2 ∠ A D C > \frac{π}{2}$ ，求 $∠ A B C$ .

(2)、已知 $A D = \sqrt{2} A B$ ，且 $∠ B A D = \frac{π}{4}$ ，求AC的最大值.

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16、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $a sin B = \sqrt{3} b sin \frac{A}{2}$ ．

(1)、求角A；

(2)、点M在线段 $B C$ 上，且满足 $\vec{A M} = \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}$ ．若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17、某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为 $n (n \in N^{*})$ 的且全部由0组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率 $p$ 传输记为0，以概率 $1 - p$ 传输记为1，其中 $0 < p < 1$ ，每位数码的传输相互独立，并设事件 $A_{n}$ 为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件.

(1)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，求 $P (A_{3})$ ；

(2)、证明：对任意的正整数 $n$ ，有 $P (A_{n}) = \frac{1 + {(2 p - 1)}^{n}}{2}$ ；

(3)、在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为 $B$ ，问： $P (B ∣ A_{n})$ 是否存在最大值？若存在，求出使 $P (B ∣ A_{n})$ 取到最大值的正整数 $n$ ；若不存在，请说明理由.

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18、已知函数 $f (x) = (1 - a) \ln x + \frac{a}{x} + x$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、试比较2.8与 $e^{1.04}$ 的大小并证明.

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19、如图1所示，四边形 $B C D E$ 满足 $B C ∥ D E$ ，过点 $B$ 作 $B A ⊥ D E$ ，点 $A$ 在线段 $D E$ 上，且满足 $B C = \sqrt{3} A B = 3 A D = 3$ ，将 $△ A B E$ 沿直线 $A B$ 翻折到 $△ P A B$ 的位置（图2）， $P B ⊥ A C$ .

(1)、求证： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、若 $P D = 2$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.

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20、已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b$ ，

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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