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相关试卷

1、复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $|z - 2 - i|$ 的最大值为.

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2、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 0, - 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{5}, 0, - \frac{2}{5})$ B、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ C、 $(- \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$ D、 $(- \frac{1}{5}, 0, \frac{2}{5})$

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3、若函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} + 2}{2^{x}}$ .为奇函数，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、 $- 2$ D、无解

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ .若 $(t \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $t =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

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5、已知实数a，b，则 $a > b$ 是 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ 的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉.

(1)、在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率；

(2)、设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件 $Y = y$ 条件下的期望定义为 $E (X |Y = y) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i} |Y = y) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot \frac{P (X = x_{i}, Y = y)}{P (Y = y)}$ ，其中 $\{x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}\}$ 为X的所有可能取值的集合， $P (X = x, Y = y)$ 表示事件“ $X = x$ ”与“ $Y = y$ ”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求 $E (X |Y = 1)$ ；

(3)、若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用 $n (n = 2, 3, 4, \cdot \cdot \cdot)$ 次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为 $a_{n}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

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7、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B C D$ 为矩形，且 $A B = 2 B C = 2$ ， $S B = \sqrt{3}$ ， $∠ S C B = ∠ S C D = 60 °$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、若 $N S ∥ B C$ （N在S的左侧），设三棱锥 $N - S A B$ 体积为 $V_{1}$ ，四棱锥 $S - A B C D$ 体积为 $V_{2}$ ，且 $V_{1} = \frac{1}{2} V_{2}$ .
①求点 $A$ 到平面 $S N C$ 的距离；
②求平面 $S N C$ 与平面 $A B N$ 所成夹角的正弦值.

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8、在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，F，T分别是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左焦点，右顶点，过F的直线交椭圆C于A，B两点，当 $A B ⊥ x$ 轴时， $△ T A B$ 的面积为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $a$ ；

(2)、若斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆C于G，H两点，N为以线段 $G H$ 为直径的圆上一点，求 $|O N|$ 的最大值.

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9、设函数 $f (x) = (x - a) {(x - b)}^{2}$ ， $a, b \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ ， $b \geq 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a \neq b$ ，且 $f (x)$ 和 $f^{'} (x)$ （ $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数）的零点均在集合 $\{2, 1, - 1\}$ 中，求 $f (x)$ 的极小值.

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10、甲乙丙三个班级共同分配9个三好学生名额，每班至少1个名额，用X表示这三个班级中分配的最少名额数，则X的数学期望 $E (X) =$ .

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11、已知 $A (- 1, 0), B (3, 0), P$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 36$ 上的一个动点，则 $sin ∠ A P B$ 的最大值为．

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12、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边， $\cos^{2} \frac{A}{2} = \frac{1}{2} \cos B \cos C + \frac{1}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\tan B \tan C = 2$ B、 $\tan A = \tan B + \tan C$ C、 $A < \frac{π}{3}$ D、 $a > b$ ， $a > c$

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13、下列命题正确的是（）

A、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{12}$ 是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数 B、若事件A，B相互独立，且 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则事件A，B不互斥 C、若随机变量 $X ~ N (0, 2^{2})$ ， $Y ~ N (0, 3^{2})$ ，则 $P (|X| \leq 2) = P (|Y| \leq 3)$ D、若随机变量 $X$ 的方差 $D (X) = 10$ ，期望 $E (X) = 4$ ，则随机变量 $Y = X^{2}$ 的期望 $E (Y) = 26$

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14、如图，半径为1的 $⊙ O_{1}$ 与半径为2的 $⊙ O_{2}$ 内切于点A， $⊙ O_{1}$ 沿 $⊙ O_{2}$ 的圆弧无滑动的滚动一周.若 $⊙ O_{1}$ 上一定点P从A点出发随着 $⊙ O_{1}$ 的滚动而运动，设点P的轨迹为C，则（）

A、C是半径为 $\frac{1}{2}$ 的圆 B、C是半径为1的圆 C、C是长度为2的线段 D、C是长度为4的线段

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15、已知函数 $f (x) = \ln x + x - \frac{1}{x}$ ，若 $f (a) + f (b) = 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{10} = \frac{4}{5}$ B、 $a_{n} = 2 - n$ C、 $\{a_{n}\}$ 有最大值 D、 $\{a_{n}\}$ 不是单调数列

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17、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的部分图象如图所示，若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = {|\vec{A B}|}^{2}$ ，则 $ω$ 等于（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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18、一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱 $A A_{1} = 18$ ，底面 $△ A B C$ 边 $A B$ 上的高为 $h$ .当底面 $A B C$ 水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 水平放置时（如图②），水面高度为（）

A、 $\frac{1}{3} h$ B、 $\frac{1}{2} h$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} h$ D、 $\frac{2}{3} h$

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19、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $\frac{1}{4} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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20、若 $\frac{z + 1}{z - 1} = 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$

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