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相关试卷

1、函数 $f (x)$ 是定义在区间 $(0, + \infty)$ 上的可导函数，其导函数为 $f' (x)$ ，且满足 $f' (x) + \frac{2}{x} f (x) > 0$ ，则不等式 $\frac{(x + 2018) f (x + 2018)}{3} < \frac{3 f (3)}{x + 2018}$ 的解集为

A、 ${x | x > - 2015}$ B、 ${x | x < - 2015}$ C、 ${x | - 2018 < x < 0}$ D、 ${x | - 2018 < x < - 2015}$

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2、将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（）

A、720种 B、420种 C、120种 D、15种

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3、已知 $P (A) = 0.8$ ， $P (B| A) = 0.5$ ， $P (B| \bar{A}) = 0.5$ ，则下列选项中不正确的是（）

A、 $P (B) = 0.5$ B、 $P (A| B) = 0.8$ C、 $P (\bar{A}| B) = 0.5$ D、A与B独立

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4、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（）

A、250个 B、249个 C、48个 D、24个

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5、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b$ 的图像开口向下， $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x} = 4$ ，则 $a =$

A、 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、2 D、-2

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6、1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设 $O x$ 、 $O y$ 是平面内相交成 $α (0 < α < π)$ 的两条射线， $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 分别为 $O x$ 、 $O y$ 同向的单位向量，定义平面坐标系 $x O y$ 为 $x O y_{(α)}$ 仿射坐标系，在 $x O y_{(α)}$ 仿射坐标系中，若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则记 $\vec{O P} = (x, y)$ .

(1)、在 $x O y_{(\frac{3 π}{4})}$ 仿射坐标系中，若 $\vec{a} = (\sqrt{2}, 1)$ ，求 $|\vec{a}|$ ；

(2)、在 $x O y_{(α)}$ 仿射坐标系中，若 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $\sin α$ ；

(3)、如图所示，在 $x O y_{(\frac{π}{3})}$ 仿射坐标系中， $B$ 、 $C$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴正半轴上， $|\vec{B C}| = 1$ ， $\vec{O D} = \frac{7}{19} \vec{O C}$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $B D$ 、 $B C$ 中点，求 $\vec{O E} \cdot \vec{O F}$ 的最大值.

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7、已知函数 $f (x) = sin x cos x + \sqrt{3} {cos}^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - \frac{3}{5}$ 的零点为 $x_{0}$ ，求 $cos (\frac{π}{6} - 2 x_{0})$ ．

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8、已知向量 $\vec{a} = (x, - 2), \vec{b} = (2, 4)$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求实数 $x$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，求实数 $x$ 的值

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9、如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中 $O^{'} B^{'} = O^{'} C^{'} = 2$ ，则三角形ABC的面积为

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10、已知海上 $B$ 岛在 $A$ 岛的北偏东 $70^{\circ}$ 方向距离 $A$ 岛5海里处， $C$ 岛在 $A$ 岛的北偏西 $50^{\circ}$ 方向， $B$ 岛与 $C$ 岛相距7海里，则 $A$ 岛与 $C$ 岛的距离为海里.

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11、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分列为 $a, b, c, A = 60 °, ∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $A D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{B D}{C D} = \frac{sin B}{sin C}$ C、 $\frac{1}{B D} + \frac{1}{C D}$ 的最大值是 $\sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 的周长的取值范围是 $[4 \sqrt{3}, + \infty)$

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12、有下列说法，其中正确的说法为（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、两个非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，若 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 C、若点G为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ D、若 $\vec{O A} + \vec{O C} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$ ， $S_{△ A O C}$ ， $S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ A O C$ 、 $△ A B C$ 的面积，则 $S_{△ A O C} : S_{△ A B C} = 3 : 5$

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13、已知复数 $z = (1 - i) (6 + i)$ ，则（）

A、 $\bar{z} = 7 + 5 i$ B、 $|z - 2| = 5 \sqrt{2}$ C、 $z + 7$ 为纯虚数 D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限

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14、函数 $y = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = \frac{π}{6}$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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15、如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（）

A、 $A F ⊥ C H$ B、 $C H ∥ B D$ C、EI与BG共面 D、AF与BG异面

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16、已知点M为 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中点，点N满足 $\vec{A N} = \frac{1}{5} \vec{A M}$ ，过点N的直线与 $A B, A C$ 分别交于P，Q两点，且设 $\vec{A P} = x \vec{A B}, \vec{A Q} = y \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值为（）

A、5 B、6 C、9 D、10

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 2, B = \frac{π}{3}, b = x$ （ $x$ 为常数），若该三角形有两个解，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 4)$ B、 $(\sqrt{3}, 4)$ C、 $(\sqrt{3}, 2)$ D、 $(1, 2)$

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18、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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19、 $\sin 5 ° \cos 25 ° + \sin 25 ° \cos 5 ° =$ （）．

A、 $\sin 20 °$ B、 $\sin 30 °$ C、 $\cos 30 °$ D、 $\cos 20 °$

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20、如图， $A, B, C$ 是圆柱上底面圆周上的三个不同的点， $A C$ 为直径， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 均为该圆柱的母线．

(1)、证明：平面 $A B B_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ．

(2)、若 $A C = 2$ ， $B B_{1} = 3$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，求 $A C_{1}$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值．

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