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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F (- 1, 0)$ ， $P$ 是直线 $l : x = - 8$ 右侧区域内的动点， $P$ 到直线 $l$ 与 $y$ 轴的距离之和等于它到点 $F$ 距离的4倍，记点 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程，并在图中画出该曲线；

(2)、直线 $l^{'}$ 过点 $F$ ，与 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，
（i）若 $|A B| = \frac{9}{2}$ ，求直线 $l^{'}$ 的方程：
（ii）若 $|A B| = 4$ ， $T$ 是点 $F$ 关于 $y$ 轴的对称点，延长线段 $A T$ 交 $E$ 于点 $C$ ，延长线段 $B T$ 交 $E$ 于点 $D$ ，直线 $C D$ 交 $x$ 轴于点 $M (m, 0)$ ，求 $m$ 的最小值．

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2、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) + \frac{a x}{x + 1} (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a > 0$ 时，解方程 $f^{'} (x) - f (x) = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - ln \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ．

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3、PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由 $A ， B ， C ， D$ 四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页 $A$ 开始浏览（记为第1次停留）．

(1)、求该用户第3次停留在网页 $D$ 上的概率；

(2)、某广告公司准备在网页 $B ， C$ 中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由．

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4、函数 $f (x)$ 满足：① $f (1) = \frac{2}{5}$ ② $\forall x ， y \in R$ ， $2^{x} f (y) - 2^{y} f (x) \geq (4^{x} - 4^{y}) f (x) f (y)$ ．则 $f (x)$ 的最大值等于．

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5、已知 $A$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 在第一象限上的点， $F$ 是抛物线的焦点， $∠ A F O = 60^{\circ}$ （ $O$ 为坐标原点）则抛物线在 $A$ 处切线的斜率是．

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6、甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏．游戏开局时桌上有 $n$ 盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，游戏规则如下：两人轮流抽牌，每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可抽，则该人输掉游戏．现由甲先抽，则下列开局中，能确保甲有必胜策略的是（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(1, 2, 3)$ C、 $(3, 3, 6)$ D、 $(3, 4, 5)$

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7、一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（）（加工过程中不计损耗）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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8、已知函数 $f (x) = \sin x$ ， $g (x) = cos x$ ，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（）

A、 $y = f (x) - g (x)$ 与 $y = f (x)$ B、 $y = {[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2}$ 与 $y = f (x) g (x)$ C、 $y = f [f (x)]$ 与 $y = f [g (x)]$ D、 $y = f [f (x)]$ 与 $y = g [f (x)]$

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9、某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在按 $\frac{1}{100}$ 的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生人数为

A、8 B、11 C、16 D、10

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10、已知函数 $f (x) = \ln x + a x + 2 (a < 0)$ ，若 $f (x)$ 有极大值，且极大值为2．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) \leq b x$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围．

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11、习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（）

A、 $C_{3}^{2} {+C}_{4}^{2} {+C}_{5}^{2} + \dots {+C}_{9}^{2} = 120$ B、第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C、记第n行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 2^{i - 1} a_{i} = 4^{n}$ D、第20行中第8个数与第9个数之比为 $8 : 13$

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12、（多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（　　）

A、 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} + 1$ B、 $a_{n} = \{\begin{array}{l} 2, n 为奇数 \\ 0, n 为偶数 \end{array}$ C、 $a_{n} = 2 \sin \frac{n π}{2}$ D、 $a_{n} = \cos (n - 1) π + 1$

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13、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (\sin A, \sin B), \vec{n} = (\cos B, \cos A)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = \sin 2 C$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $\sin A, \sin C, \sin B$ 成等差数列，且 $\vec{C A} \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 18$ ，求 $c$ .

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14、在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备.

(1)、第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是 $\frac{1}{2}$ ，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是 $\frac{1}{2}$ .记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”.
（ⅰ）求小王答对第一组题的概率 $P (A)$ ；
（ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率 $P (B |A)$ .

(2)、小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为 $\frac{1}{2}$ ，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为 ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）：
题号
第1题
第2题
第3题
得分
2分
4分
6分
若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率.

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15、现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（）

A、共有 $4^{5}$ 种不同的放法 B、恰有两个盒子不放球，共有360种放法 C、每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种 D、将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种

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16、盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（）

A、 $\frac{4}{35}$ B、 $\frac{24}{35}$ C、 $\frac{4}{125}$ D、 $\frac{24}{125}$

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17、已知函数 $f (x) = x^{2} (x - c)$ 在 $x = - 2$ 处有极值，则实数 $c$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 3$ D、 $3$

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，下顶点为A，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $P, Q$ 是椭圆 $C$ 上的动点，且当 $P F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ 时， $|P F_{1}| = 1$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $∠ P A Q$ 的平分线经过点 $F_{1}$ ，
①证明：直线 $P Q$ 恒过定点；
②求 $△ A P Q$ 面积的最大值.

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $b = \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 有一解 B、若 $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $b + c$ 的取值范围为 $(3, 2 \sqrt{3}]$ .

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20、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{1, 2\}$ ，集合 $B = \{2, 4, 5\}$ ，则 $A \cup B =$ ．

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题号	第1题	第2题	第3题
得分	2分	4分	6分