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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a ln x$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 2)$ 的图象上存在两条斜率之积为 $- 4$ 的切线，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(- 3, - 2)$

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 4$ ， BC边上的高 $A D = \sqrt{3}$ ，则 $b + c =$ （）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、 $4 \sqrt{2}$

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3、已知 $\cos α + \sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3})$ 的值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ D、 $- \frac{5}{8}$

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4、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，若 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 4$ ，椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的焦距为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5、在平面直角坐标系xOy中，已知 $A (2, - 1)$ ， $B (1, 1)$ ， $\vec{O P} = λ \vec{O A} + (2 - λ) \vec{O B}$ ，若 $\vec{O P} ⊥ \vec{O B}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、4 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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6、已知复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = 2 - i$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、3 D、1

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7、已知集合 $A = \{x| |x| \leq 3, x \in N\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B$ 中所有元素和为（）

A、3 B、5 C、6 D、9

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8、学校食堂为了减少排队时间，从开学第 $1$ 天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前 $1$ 天选择了米饭套餐，则第 $2$ 天选择米饭套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ；若他前 $1$ 天选择了面食套餐，则第 $2$ 天选择米饭套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ .已知他开学第 $1$ 天中午选择米饭套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求该同学开学第 $2$ 天中午选择米饭套餐的概率；

(2)、记该同学开学第 $n (n \in N^{*})$ 天中午选择米饭套餐的概率为 $P_{n} ．$ 证明：当 $n \geq 2$ 时， $P_{n} \leq \frac{14}{27}$ .

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9、已知圆 $F_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，圆 $F_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = {(4 - r)}^{2}$ ， $0 < r < 4$ ．当r变化时，圆 $F_{1}$ 与圆 $F_{2}$ 的交点P的轨迹为曲线C，
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点 $P (1, \frac{3}{2})$ ，过曲线C右焦点 $F_{2}$ 的直线交曲线C于A、B两点，与直线 $x = m$ 交于点D，是否存在实数m， $λ$ ，使得 $k_{P A} + k_{P B} = λ k_{P D}$ 成立，若存在，求出m， $λ$ ；若不存在，请说明理由．

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，过E作EF⊥PB，交PB于点F．

(1)、证明：PB⊥平面EFD；

(2)、若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求AD的长度.

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} (\ln x - a)$ ．
（1）若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
（2）若 $a > 1$ ，求证：函数 $f (x)$ 存在极小值；
（3）若对任意的实数 $x \in [1, + \infty)$ ， $f (x) \geq - 1$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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12、离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
x
0.10
y
0.20
则 $P (\frac{5}{2} < x < \frac{16}{3})$ 等于.

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13、甲罐中有 $5$ 个红球， $5$ 个白球，乙罐中有 $3$ 个红球， $7$ 个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球． $A_{1}$ 表示事件“从甲罐取出的球是红球”， $A_{2}$ 表示事件“从甲罐取出的球是白球”， $B$ 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1}, B$ 为互斥事件 B、 $P (B |A_{1}) = \frac{4}{11}$ C、 $P (A_{2} |B) = \frac{4}{7}$ D、 $P (B) = \frac{7}{22}$

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14、若 $x^{5} = a_{0} + a_{1} (1 + x) + a_{2} {(1 + x)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{5} {(1 + x)}^{5}$ ，其中 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{5}$ 为实数，则（）

A、 $a_{0} = 0$ B、 $a_{3} = 10$ C、 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{5} = 1$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 16$

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15、将曲线 $C_{1} : y = \sin x$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2} : y = f (x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $f (\frac{13 π}{6} - x) = f (x)$ C、 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上有4个零点 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ 上单调递增

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16、已知函数 $f (x) = x + [x]$ （其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数），则关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{5 x}{2} - 1$ 的所有实数根之和为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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17、已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{9}$ D、 $\frac{8}{27}$

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18、已知集合 $A = \{- 1, 1\}$ ， $B = \{x | |x + \frac{1}{2}| < \frac{3}{2}, x \in Z\}$ ，则 $A \cup B =$

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} m (x^{2} - 1) - \ln x (x \in R)$ ．
（1）若 $m = 1$ ，求证： $f (x) \geq 0$ ．
（2）讨论函数 $f (x)$ 的极值；
（3）是否存在实数 $m$ ，使得不等式 $f (x) > \frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x - 1}}$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立？若存在，求出 $m$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

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20、张先生家住 $H$ 小区，他在 $C$ 科技园区工作，从家开车到公司上班有 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 两条路线(如图)， $L_{1}$ 路线上有 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 三个路口，各路口遇到红灯的均为 $\frac{1}{2}$ ； $L_{2}$ 上有 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{3}{5}$ .
（1）若走 $L_{1}$ 路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走 $L_{2}$ 路线，求他遇到红灯的次数 $X$ 的分布列和数学期望.

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X	1	2	3	4	5	6
P	0.20	0.10	x	0.10	y	0.20