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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D ＝ D C$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ .

(1)、证明 $P A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、证明 $P B ⊥$ 平面 $E F D$ ；

(3)、求二面角 $C - P B - D$ 的大小.

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2、设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，过点 $A (0, 1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $B$ ，与椭圆相交于点 $C, D$ 两点．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若 $\vec{B C} = \vec{D A}$ ，求 $k$ 的值：

(3)、若圆心在椭圆上，半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆，我们称是椭圆的“卫星圆”，过原点 $O$ 作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于 $E, F$ 两点，试问 $|O E |^{2} +| O F |^{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形， $B C ∥ A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $P C = A D = 2 D C = 2 C B = 2$ ．

(1)、若点 $E$ 为线段 $P D$ 的中点，
①证明： $C E$ ∥面 $P A B$ ；
②求直线 $C E$ 与平面 $P A B$ 间的距离；

(2)、若点 $E$ 为直线 $P D$ 上的动点，当直线 $C E$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥 $E - A C D$ 的体积．

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4、已知圆 $M$ 过 $A (- \sqrt{2}, - \sqrt{2}), B (- 2, 0), C (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ 三点．

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若圆 $N$ 与圆 $M$ 关于直线： $x - y + 2 = 0$ 对称，求圆 $N$ 的方程；

(3)、若过点 $P (- 1, \frac{1}{2})$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $E, F$ 两点，且 $|E F| = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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5、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n} > 0 (n \in N^{*}), a_{3} = 9, S_{3} = 13$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ 及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = n - 1 (n \in N^{*}), c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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6、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $B B_{1}, D_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $E F ⊥ D A_{1}$ ；

(2)、求异面直线 $A_{1} D$ 与 $D_{1} B_{1}$ 所成角的大小．

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7、已知圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 1 = 0$ ，圆上恰有两个点到直线 $l : y = x + b$ 的距离都等于1，则 $b$ 的取值范围为．

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = 1, a_{n + 1} - a_{n} = \frac{4 n^{2}}{(2 n - 1) (2 n + 1)} (n \in N^{*})$ ，则数列通项公式 $a_{n} =$ ．

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9、 $M$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一点，点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线左右焦点，若 $|M F_{1}| = 5$ ，则 $|M F_{2}| =$ .

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10、如图，棱长均为 $1$ 的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ D A B = 60^{\circ}$ ，点 $P$ 为平面 $A B C D$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ B、 $\vec{A A_{1}}$ 在 $\vec{A C_{1}}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{3} \vec{A C_{1}}$ C、以 $D_{1}$ 为球心，半径为 $1$ 的球，与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线长为 $\frac{\sqrt{3} π}{6}$ D、若直线 $D_{1} P$ 与直线 $A B$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，则点 $P$ 的轨迹为双曲线

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11、已知动点 $P$ 在抛物线 $y^{2} = 16 x$ 上，过点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段，垂线段的中点的轨迹为曲线 $C, A, B$ 是曲线 $C$ 上的两点，则（）

A、曲线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ B、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 2$ ，则直线 $A B$ 过定点 $(2, 0)$ C、若直线 $A B$ 过点 $F (1, 0)$ ，点 $A$ 的纵坐标为1，则 $|A F| = \frac{5}{4}$ D、若直线 $A B$ 过点 $F (1, 0)$ ，连接 $O A, O B$ 分别交直线 $x = - 1$ 点 $D, E$ ，则 $D F ⊥ E F$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列条件能推出 $a_{5} = 0$ 的是（）

A、 $a_{2} = a_{8} = 0$ B、 $S_{n} = 5 n - n^{2}$ C、 $a_{2} = 3, a_{6} = - 1$ D、 $S_{10} = 0$

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13、设 $m$ 为正整数，数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{3 m + 2}$ 是公比不为1的等比数列，若从中删去两项 $a_{i}$ 和 $a_{j} (i < j)$ 后剩余的 $3 m$ 项可被平均分为 $m$ 组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{3 m + 2}$ 是 $(i, j) -$ 可分数列．现有下列3个命题：①数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{5}$ 是 $(1, 5)$ 可分数列；②数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}$ 是 $(2, 5)$ 可分数列；③数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{3 m + 2} (m \geq 3)$ 是 $(6, 9)$ 可分数列．其中是真命题的为（）

A、① B、①② C、①③ D、②③

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14、如图，已知二面角 $α - l - β$ 的大小为 $60 °$ ，棱 $l$ 上有两个点 $A, B$ ，线段 $B D$ 与 $A C$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $l$ ．若 $A B = 1, A C = 2, B D = 3$ ，则 $C D =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{14}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、4

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15、过双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点 $F$ 作一条渐近线的垂线 $l$ ，垂足为点 $A$ ，直线 $l$ 与另一条渐近线相交于点 $B$ ，若 $A$ 是线段 $F B$ 的中点，则双曲线的渐近线为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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16、如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为 $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ ，则 $C_{5} =$ （）

A、 $\frac{512}{27}$ B、 $\frac{256}{27}$ C、 $\frac{512}{9}$ D、 $\frac{256}{9}$

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17、比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

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18、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 9$ ，圆 $C_{2} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、内含 B、外切 C、相交 D、外离

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19、若直线 $l_{1} : (1 - a) x + y + 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : - 2 x + a y - 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、3

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20、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 6, a_{4} = 5$ ，则公差 $d =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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