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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \cos (3 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{5π}{24}, \frac{π}{24})$ 单调递增 B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, π)$ 内有4个零点 C、点 $(- \frac{π}{4}, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{5π}{8}]$ 上的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2、已知集合 $A = \{(x, y) | 3 x - y = 0\}$ ， $B = \{(x, y) | x - y = 0\}$ ， $C = \{(x, y) | 3 x - y = 4\}$ ， $D = \{(x, y)| \{\begin{array}{l} 2 x - y = 1 \\ x + 2 y = 3 \end{array}\}$ ，下列选项正确的有（）

A、 $A \cap B = \{0\}$ B、 $A \cap C = \emptyset$ C、 $B \cap C = (2, 2)$ D、 $D \subseteq B$

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3、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, + \infty)$ 上的奇函数，且满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ．若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025) =$ （）

A、0 B、2 C、2024 D、2025

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4、某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为 $P = P_{0} \cdot e^{- k t}$ （其中 $P_{0}$ ， k是正常数），如果在前5h消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间约为（）
（本题参考数据： $\ln 0.5 \approx - 0.693, \ln 0.9 \approx - 0.105$ ）

A、 $6h$ B、 $10h$ C、 $11h$ D、 $33h$

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5、在下列区间中，方程 $e^{x} + 3 x - 2 = 0$ 的解所在的区间为（）

A、 $(- \frac{1}{3}, 0)$ B、 $(0, \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

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6、已知 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} = 3$ ，则 $\sin α \cos α =$ （）

A、 $\frac{4}{17}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\pm \frac{4}{17}$ D、 $\pm \frac{2}{5}$

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7、设命题 $p :$ 三角形的内角和为 $180 °$ ，则p的否定为（）

A、所有三角形的内角和都不为 $180 °$ B、有的三角形的内角和为 $180 °$ C、存在三角形的内角和不为 $180 °$ D、三角形的内角和不为 $180 °$

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8、下列命题是真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a < b < c < 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} < \frac{b}{c - b}$ D、若 $a < b < c < 0$ ，则 $\frac{a + c}{b + c} < \frac{a}{b}$

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9、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ ， $B = \{x | \frac{x - 1}{x - 5} \leq 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 2, 5)$ B、 $[1, 3]$ C、 $[1, 5)$ D、 $[- 2, 1] \cup [3, 5)$

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10、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，若它们满足如下性质：① $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数；② $f (x) + g (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）；则称 $f (x)$ 为类正弦函数， $g (x)$ 为类余弦函数.

(1)、求类正弦函数和类余弦函数的解析式；

(2)、求证：
（ⅰ） $f (2 x) = 2 f (x) g (x)$ ；
（ⅱ） $g (2 x) = 2 {[g (x)]}^{2} - 1$ ；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $g (2 x) - (b + \frac{1}{b}) g (x) + \frac{3}{2} \leq 0$ ，其中 $b$ 为非零常数.

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11、已知函数 $f (x) = \log_{2} x$ ， $g (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x}$ ， $a \in R$ ， $h (x) = x + \frac{3}{x}$ ；

(1)、当 $x \in [2, 4]$ 时，求函数 $h [f (x)]$ 的值域；

(2)、当 $x \in [1, 3]$ 时， $g (x) + a - 2 \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在 $x_{1} \in [2, 4]$ ，使得不等式 $h [f (x_{1})] \geq |g (x_{2}) - g (x_{3})|$ 对任意 $x_{2}$ ， $x_{3} \in [0, 1]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = \sin 2 x \cos θ - \cos 2 x \cos (\frac{π}{2} - θ)$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ），且 $|f (\frac{π}{3})| = 1$ .

(1)、求 $θ$ 的值及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则求不等式 $g (x) + g (2 x - \frac{π}{2}) > 0$ 的解集

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13、已知 $A = \{x |\frac{4 - x}{x} > 1\}$ ， $B = \{x |2 m - 1 < x < m + 1, m \in R\}$

(1)、若 $m = 0$ ，求 $(∁_{R} A) \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，则求实数m的取值范围.

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14、（1）计算： ${(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} + 10^{\lg 2} + \log_{\frac{1}{9}} \sqrt{3} + \log_{5} 16 \cdot \log_{2} \sqrt{5}$ ；
（2）已知 $\frac{3 π}{4} < α < π$ ， $\tan α + \frac{1}{\tan α} = - \frac{5}{2}$ ，求 $2 \sin^{2} α - \sin α \cos α - 3 \cos^{2} α$ 的值..

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15、已知 $f (x) = x \ln (\sqrt{x^{2} + 2} + x) - \frac{1}{2} x \ln 2$ ，若对于任意的 $x \in (- \infty, - 1) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ ， $f (x - a) < f (3 x)$ 恒成立，则a的取值范围是.

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16、已知扇形的周长为 $8$ ，圆心角为 $6 rad$ ，则扇形的面积为.

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1, x \leq 0 \\ |\ln x - 1|, x > 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 ${[f (x)]}^{2} + a \cdot f (x) + a = 0$ 有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则（）

A、 $0 \leq x_{1} x_{2} < 1$ B、 $1 \leq x_{3} < e$ C、 $0 < x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} < e^{2}$ D、 $- \frac{1}{2} \leq a < 0$

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18、设函数 $f (x) = \frac{\sin 3 x}{\sin x \cos x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 的图象有对称中心 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递减

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19、下列命题中正确的是（）

A、 $\forall x \in (- \infty, 0)$ ， $2^{x} > 3^{x}$ B、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $2^{x} > 3^{x}$ C、 $\forall x \in (0, 1)$ ， $x^{3} < x^{\frac{1}{2}}$ D、 $\exists x \in (1, + \infty)$ ， $x^{3} < x^{\frac{1}{2}}$

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20、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - x + m$ ，则 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值为（）

A、 $- 5$ B、 $- 2$ C、5 D、6

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