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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x - e^{x - 1} - \frac{a}{2}$ 的一个零点是 $x = 1$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴的交点为 $Q (x_{0}, 0)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $Q$ 处的切线为 $l$ ，求证：曲线 $y = f (x)$ 上的点都不在直线 $l$ 的上方；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t (t > 0)$ 有两个不相等的实根 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求证： $x_{2} - x_{1} < 2 - \frac{4}{3} t$ ．

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2、氨基酸在茶叶中约占1%到4%的含量，为研究春夏季节与茶叶氨基酸含量是否有关联，抽取90份样品列表如下：
氨基酸
春季
夏季
含量高
30
20
含量低
15
25

(1)、根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析春夏季节对茶叶氨基酸含量是否有影响？

(2)、随机抽取1000份茶叶，氨基酸含量 $X$ 近似服从正态分布 $N (0.02, σ^{2})$ ，其中恰有23份氨基酸含量不小于0.03.
①求 $σ$ ；
②如果茶叶中氨基酸含量小于1.5%，则该份茶叶为乙等产品，求这批茶叶中的乙等产品约有多少份.
附：Ⅰ.参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
下表是 $χ^{2}$ 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
Ⅱ.对任何一个正态分布 $X$ 服从 $N (μ, σ^{2})$ 来说，通过 $Z = \frac{X - μ}{σ}$ 转化为标准正态分布 $Z$ 服从 $N (0, 1)$ ，从而查标准正态分布表得到 $P (X < X_{1}) = P (Z < Z_{1}) = Φ (Z_{1})$
可供查阅的（部分）标准正态分布表：
$Z_{1}$
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
$Φ (Z_{1})$
0.841
0.885
0.919
0.945
0.964
0.977
0.986
0.992
0.995

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a \ln x$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ ，求 $a$ 的值.

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4、某种植物子二代的基因型为 $D D$ ， $D d$ ， $d d$ ，其中 $D$ 为显性基因， $d$ 为隐性基因，且这三种基因型的比为1∶2∶1.

(1)、在子二代中按基因型比例抽取4株，再从这4株中随机抽取2株，求抽取的基因型是 $D d$ 的株数 $X$ 的分布列和期望；

(2)、在子二代中任意选取2株进行杂交实验，求子三代中基因型为 $D d$ 的概率.

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5、已知 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + t x - 2 t + 2$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、函数 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = g (x + a) - b$ 为奇函数，若 $x = 2$ 为函数 $f (x)$ 的一个极值点，求曲线 $y = f (x)$ 的对称中心.

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6、已知 $P (t, t^{2})$ ，过点 $P$ 可作曲线 $f (x) = x + \ln x$ 的两条切线，则 $t$ 的取值范围为；若切点为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，则 $\frac{x_{1} \ln x_{1} - x_{2} \ln x_{2}}{x_{1} - x_{2}}$ 的取值范围为.

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7、 ${(x^{2} + x + y)}^{7}$ 展开式中 $x^{5} y^{3}$ 的系数为.

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8、假设每次实验只有两种结果“成功”和“失败”，且每次实验的成功概率都是 $p (0 < p < 1)$ ，若进行多次实验，直到失败 $r$ 次，那么成功的次数 $X$ 服从“负二项分布”，记作： $X ~ N B (r, p)$ ，若 $X ~ N B (r, p)$ ，则（）

A、若 $r = 1$ ，则 $P (X = k) = p^{k} (1 - p)$ ， $k = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot$ B、若 $r = 1$ ，则 $X$ 的数学期望 $E (X) = \frac{p}{1 - p}$ C、 $P (X = k) = C_{r + k}^{k} {(1 - p)}^{r} p^{k}$ ， $k = 0, 1, 2, \dots$ D、若 $P (X = k)$ 最大，则 $\frac{r p - 1}{1 - p} \leq k \leq \frac{r p - 1}{1 - p} + 1$ ， $k = 0, 1, 2, \dots$

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9、已知 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，若函数 $y = f^{'} (x) - 1$ 的图象大致如图所示，且 $f (1) = 1$ ，则（）

A、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 B、 $f (x)$ 有2个极大值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, 3)$ 单调递增 D、 $f (2) > 2$

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10、下列大小关系正确的是（）

A、 $2^{\sqrt{2}} < 2^{\ln 2}$ B、 ${1.3}^{0.2} < {1.5}^{0.5}$ C、 $\log_{3} 3.1 < e^{- 0.1}$ D、 $\log_{2} 3 > \log_{4} 5$

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11、函数 $f (x)$ 满足对任意的 $x$ ， $y$ 均有 $f (x - y) \cdot f (y) = f (x)$ ，且 $f (1) = 2$ ，则 $\frac{f (2)}{f (1)} + \frac{f (3)}{f (2)} + \frac{f (4)}{f (3)} + \dots + \frac{f (2024)}{f (2023)} =$ （）

A、4048 B、4046 C、2024 D、2023

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12、已知 $x > 1$ ， $y > 3$ ， $(x - 1) (y - 3) = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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13、我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件 $A =$ “相邻区域颜色不同”，事件 $B =$ “区域1和3颜色相同”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、函数 $y = 3^{x}$ 与 $y = 3^{2 - x}$ 的图象（）

A、关于 $x = \frac{1}{4}$ 对称 B、关于 $x = \frac{1}{2}$ 对称 C、关于 $x = 1$ 对称 D、关于 $x = 2$ 对称

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15、口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（）

A、20 B、26 C、32 D、36

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16、设全集 $U = \{0, 1, 3, 5, 7\}$ ，集合 $A$ 满足 $∁_{U} A = \{3, 5\}$ ，则（）

A、 $0 \notin A$ B、 $1 \in A$ C、 $2 \in A$ D、 $3 \in A$

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17、一个 $△ A B C$ ，它的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .

(1)、如果这个三角形为锐角三角形，且满足 $a^{2} - b^{2} = b c$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的取值范围；

(2)、若 $△ A B C$ 内部有一个圆心为P，半径为1的圆，它沿着 $△ A B C$ 的边内侧滚动一周，且始终保持与三角形的至少一条边相切.现用21米的材料刚好围成这个三角形，请你设计一种 $△ A B C$ 的围成方案，使得P经过的路程最大并求出该最大值.（说明理由）

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18、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P A D$ 是边长为2的正三角形，底面 $A B C D$ 为正方形，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $A D$ 的中点.

(1)、求证： $D M ⊥ P C$ ；

(2)、在线段 $P B$ 上是否存在一点 $Q$ 使得 $M Q //$ 平面 $P N C$ ，存在指出位置，不存在请说明理由.

(3)、求二面角 $B - P C - N$ 的正弦值．

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19、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $S$ ，且 $6 S = a (b + c)$ ．

(1)、若 $\sin B = \frac{2}{3}$ ，求 $\cos A$ ；

(2)、若 $a = 3, A = \frac{π}{3}$ ，求 $S$ ．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形， $P A ⊥$ 底面ABCD， $A B = P A = 2$ ，且直线PD与底面ABCD所成的角为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面PAC；

(2)、求点C到平面PBD的距离．

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$Z_{1}$	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2	2.2	2.4	2.6
$Φ (Z_{1})$	0.841	0.885	0.919	0.945	0.964	0.977	0.986	0.992	0.995

氨基酸	春季	夏季
含量高	30	20
含量低	15	25

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828