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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = ln x - a x + 1$ ，其中 $a \in R .$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、①若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的最小值；
②证明： $3 + \frac{5}{2^{2}} + \frac{7}{3^{2}} + \dots + \frac{2 n + 1}{n^{2}} > 2 ln (n + 1)$ ，其中 $n \in N^{*} .$

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2、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， M为 $B C$ 的中点．
（1）求证： $P B ⊥ A M$ ；
（2）求平面 $P A M$ 与平面 $P D C$ 所成的角的余弦值．

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3、数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 5$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + n$ ，则 $a_{10}$ 等于.

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4、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x + 1$ ， $a \in R$ ，则（）

A、若 $f (x)$ 有极值点，则 $a \leq 0$ B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 有一个零点 C、 $f (x) = 2 - f (- x)$ D、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上斜率为2的切线是直线 $y = 2 x - 1$

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5、已知点 $A (1, - 2) 、 B (2, 0) 、 C (3, - 3) 、 D (- 1, - 6)$ ，则（）

A、 $\vec{A B}$ $∥$ $\vec{A D}$ B、 $|\vec{A B}| = |\vec{A C}|$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{B D} = 0$ D、 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$

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6、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 3)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得最大值 C、 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $x = - 3$ 处取得最小值

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7、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = - 3, S_{6} = 21$ ，则 $a_{1}$ 等于（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、2 D、5

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8、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{6} = 3$ ， $S_{8} = 12$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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9、函数 $f (x) = x^{2} - 2^{x}$ 的导函数为 $f^{'} (x) =$ （）

A、 $2 x - 2^{x}$ B、 $2 x - 2^{x} \ln 2$ C、 $2 x + 2^{x}$ D、 $2 x + 2^{x} \ln 2$

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10、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，若在该正方体的棱上恰有 $4$ 个点 $M$ ，满足 $|M B| + |M C_{1}| = d$ ，则 $d$ 的取值范围为.

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11、设公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} > a_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} > 0$ B、 $0 < q < 1$ C、 $a_{n + 1} > a_{n}$ D、 $S_{n} < \frac{1}{q - 1}$

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12、已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $M$ 上， $Q$ 为 $P F_{2}$ 的中点，且 $F_{1} Q ⊥ P F_{2}$ ， $|F_{1} Q| = b$ ，则 $M$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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13、若函数 $f (x) = e^{\frac{m}{x - m}}$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2,0)$ B、 $(- \infty, - 2]$ C、 $(- \infty,0)$ D、 $[2, + \infty)$

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14、若复数 $z = \frac{1 + i}{3 - i}$ ，则 $\frac{1}{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $2$ D、 $- 2$

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15、设 $z, z_{1}, z_{2}$ 为复数，且 $z_{1} \neq z_{2}$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ B、若 $| z | = 1$ ，则 $| z + 2 i |$ 最大值为3 C、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ D、若 $|z - z_{1}| = |z - z_{2}|$ ，则 $z$ 在复平面对应的点在一条直线上

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，且 $|A B| = 4$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $P$ 是椭圆 $C$ 上不同于 $A, B$ 的一点，直线 $P A$ ， $P B$ 与直线 $x = 4$ 分别交于点 $M, N$ .试判断以 $M N$ 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x (a$ 为常数 $)$ 的图象与y轴交于点A，曲线 $y = f (x)$ 在点A处的切线斜率为 $- 2$ ．
（1）求a的值及函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）设 $g (x) = x^{2} - 3 x + 1$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > g (x)$ 恒成立．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $C D // A B$ ， $A D = D C = B C = 1$ ， $A B = P D = 2$ ，设 $E$ 为 $P B$ 的中点.

(1)、证明： $C E //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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19、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 5$ ，点 $(a_{n + 1}, a_{n}) (n \in N^{*})$ 在直线 $x - y - 2 = 0$ 上.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{n} = \frac{1}{S_{n} - n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20、若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + a \ln x$ 有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是.

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