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相关试卷

1、在三棱锥 $A - B C D$ 中，已知 $A B = 10$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $\cos ∠ B D C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，当三棱锥 $A - B C D$ 的外接球体积取得最小值时，记 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成的角为 $α$ ，则 $\sin α =$ .

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2、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x - y) = f (x) - f (y) - 1$ 且 $f (x)$ 是一个增函数，请写出满足条件的一个函数 $f (x) =$ .（写出一个即可）

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3、若 ${(a x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中，二项式系数之和与系数之和相等，则展开式中 $x^{3}$ 项的系数是（用数字作答）

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4、已知曲线 $C : y^{2} = x^{3} - x + 4$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称 B、曲线 $C$ 与 $y = \sqrt{2 x}$ 的图象有且仅有一个交点 C、当 $x < 0$ 时，曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离均不超过 $\sqrt{5}$ D、曲线 $C$ 与直线 $x = 1$ ， $x = 2$ 围成图形的面积小于 $2 + \sqrt{10}$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \dots + \frac{a_{n}}{n} = \frac{n a_{n + 1}}{2 (n + 1)}$ ，令 $b_{n} = \frac{1}{1012} (\frac{a_{n}}{n} - 1)$ ，则（）

A、 $a_{10} = 100$ B、数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列 C、 $b_{2024}$ 为整数 D、数列 $\{b_{n}\}$ 的前2025项和为2025

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6、下列关于概率统计的说法，正确的是（）

A、若随机变量 $X \sim B (5, \frac{2}{5})$ ，则 $E (X) = 2$ ， $D (X) = \frac{6}{5}$ B、若随机变量 $X \sim N (1, σ_{1}^{2})$ ； $Y \sim N (0, σ_{2}^{2})$ ，则 $P (X > 1) > P (Y > 1)$ C、若一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ 的对应样本点都在直线 $y = - x + 1$ 上，则这组样本数据的相关系数为 $- 1$ D、设关于分类变量 $X$ 与 $Y$ 的独立性检验的零假设为 $H_{0} : X$ 与 $Y$ 无关，根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 4.2$ ，依据 $α = 0.05$ 的独立性检验（ $x_{0.05} = 3.841$ ），没有充分证据推断 $H_{0}$ 不成立，即认为 $X$ 与 $Y$ 无关.

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7、已知函数 $f (x) = \frac{- a x - a + 1}{e^{x}} + x$ ，若0是 $f (x)$ 极小值点，则 $a$ 取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1)$

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆上一点，射线 $P A$ 是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线，其与 $x$ 轴的交点为点 $A$ ， $∠ P F_{1} F_{2}$ 的角平分线与直线 $P A$ 交于点 $B$ ，若 $\vec{P B} = \frac{3}{4} \vec{P A}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 和 $△ P B C$ 均是边长为2的等边三角形，若 $P B ⊥ A B$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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10、某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（）种．

A、7 B、10 C、14 D、16

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11、已知角 $α$ ， $β$ 满足 $\tan α = 2 \tan β$ ， $\sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (α + β)$ 的值等于（）

A、1 B、 $- 1$ C、0 D、 $\pm 1$

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12、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、6

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13、若集合 $A = {x | x < 4}$ ， $B = {x | 0 < x \leq 1}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1]$ D、 $(- \infty, 0] \cup (1, 4)$

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14、命题“ $\forall x \in [1 ， 2] ， x^{2} － a \leq 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \geq 4$ B、 $a \leq 4$ C、 $a > 4$ D、 $a < 4$

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{2 a}{b} - 1 = \frac{\tan C}{\tan B}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\sin A + \sin B + \sin C$ 的取值范围；

(3)、若 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点（ $C$ ， $D$ 分别位于 $A B$ 两侧），且 $A C = 3$ ， $A D = 2$ ， $B D = 1$ ， $∠ A D B = 120 °$ ，求 $\sin ∠ C B D$ 的值．

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16、在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为边 $B C$ 和 $C D$ 上两个动点（含端点），设 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{D F} = μ \vec{D C}$ ．

(1)、当 $∠ E A F = \frac{π}{4}$ 时，求 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的取值范围；

(2)、当 $E F = \frac{5}{2}$ 时，求 $|\vec{A E} + \vec{A F}|$ 的最大值．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $M$ 是线段 $B C$ 上一点，且满足 $B M = 2 M C$ ，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = 3 \vec{P M}$ ，过 $P$ 的一条直线 $l$ 分别交线段 $A B$ 、 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ ．设 $\vec{A E} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = y \vec{A C}$ ，其中 $x$ 、 $y \in (0, 1)$ ．记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ .

(1)、试用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示 $\vec{A P}$ ；

(2)、求 $x + 2 y$ 的最小值；

(3)、若直线 $l$ 交 $C B$ 的延长线于点 $G$ ，并有 $M B = B G$ ，求 $\frac{x}{y}$ 的值．

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18、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 m \cos^{2} x + 3 (x \in R, m \in R)$ 的最大值为 $6$ ．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度后得到偶函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的最小值．

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19、在 $△ A B C$ 中，已知 $A C = 3$ ， $A B = 4$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，则 $A D =$ ．

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20、函数 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{3})$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的零点是．

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