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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、3

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2、西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在 $25 ° C$ 室温下，龙井用 $85 ° C$ 的水泡制，再等到茶水温度降至 $60 ° C$ 时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从 $85 ° C$ 开始，经过 $x$ 分钟后的温度为 $y ° C$ 且满足 $y = k a^{x} + 25 (k \in R, 0 < a < 1, x \geq 0)$ .

(1)、求常数 $k$ 的值；

(2)、经过测试可知 $a = 0.9227$ ，求在 $25 ° C$ 室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ $($ 结果精确到 $1$ 分钟 $)$ (参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010, \lg 3 \approx 0.4771$ ， $\lg 7 \approx 0.8451, \lg 0.9227 \approx - 0.0349$ )

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3、已知 $cos (α - \frac{5 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $sin (\frac{π}{4} + α) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\pm \frac{1}{3}$

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4、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ．

(1)、若 $a = 1, c = 2$ ，且 $f (x)$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上有两个互不相同的实数根，求 $b$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 2, - 1)$ ， $g (x) = x + 4$ ，对于 $\forall x_{1} \in [1, 4]$ ， $\exists x_{2} \in [- 4, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) - x_{1} - 2 a \geq g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x) \geq 2 a x + b$ 恒成立，求 $\frac{b^{2}}{3 a^{2} + c^{2}}$ 的最大值．

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5、已知定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a}{x + b}$ 满足 $f (1) = 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式，并写出 $f (x)$ 的单调区间（不需证明）；

(2)、解不等式 $|f (x^{2} - 1)| < \frac{5}{2}$ ；

(3)、设 $x_{1}, x_{2}$ 为方程 $f (x - 1) = 2 x - m - 2$ 的两个非零实根，若 $\exists m \in (- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}]$ ，使不等式 $t \leq |\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}}|$ 成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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6、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - 12, (a, b \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围；

(2)、当 $b = 3 a - 4$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集．

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7、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 4\}$ ， $B = \{x |- 5 < x < \frac{3}{2}\}$ ， $C = \{x |1 - 2 a < x < 2 a\}$ ．

(1)、求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $C \subseteq (A \cap B)$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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8、已知对任意的 $x < 0$ ，不等式 $(a x - 4) (x^{2} + b) \geq 0 (a, b \in Z)$ 恒成立，则 $a^{2} - b$ 的取值集合为.

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9、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x - 4, x \leq 0 \\ x + \frac{1}{x}, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (m + 1) = 2$ ，则 $m =$ ．

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10、已知正实数 $a, b$ 满足 $a b + 2 a + b = 6$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为2 B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最大值为1 C、 $2 a + b$ 的最小值为4 D、 $a + b$ 的最小值为 $4 \sqrt{2} - 3$

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11、对于实数 $x$ ，规定 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如 $[π] = 3$ ， $[- 2.1] = - 3$ ，那么不等式 $4 {[x]}^{2} - 16 [x] + 7 < 0$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x \in [1, 3]$ B、 $x \in [0, 4]$ C、 $x \in [1, 4)$ D、 $x \in [2, 4)$

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12、若 $a < b < 0 < c$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $- b < c$ C、 $|a - c| > |b|$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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13、设函数 $f (x) = |3 x - 3| + |2 x - 1|$ 的最小值为 $m$ ，若 $a, b, c \in R$ ，且 $a + b + c = m$ ， $a b c = \frac{1}{2}$ ，用 $max \{a, b, c\}$ 表示 $a, b, c$ 中的最大数，则 $max \{a, b, c\}$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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14、已知函数 $y = (2 m - 1) x^{m} + n - 2$ 是幂函数，一次函数 $y = k x + b (k > 0, b > 0)$ 的图像过点 $(m, n)$ ，则 $\frac{4}{k} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、3 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{14}{3}$ D、5

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15、已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的函数解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{|x| - 1}$ B、 $f (x) = \frac{1}{||x| - 1|}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x^{3} + 1}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

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16、已知 $2 \in \{2 a, a^{2} + a\}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1或 $- 2$ B、1 C、 $- 2$ D、1或 $- 1$

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17、下列各组表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ B、 $f (x) = 1, g (x) = x^{0}$ C、 $f (x) = \{\begin{cases} x - 2, x \geq 2 \\ - x + 2, x < 2 \end{cases}, g (x) = |x - 2|$ D、 $f (x) = x + 3, g (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$

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18、设命题 $p : \exists x \in R, x^{2} > 2021$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} \leq 2021$ B、 $\forall x \in R, x^{2} > 2021$ C、 $\exists x \in R, x^{2} \leq 2021$ D、 $\exists x \in R, x^{2} < 2021$

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19、已知圆 $C : x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 18$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 2$ 与 $x$ 轴交于 $F_{1}, F_{2}$ 两点.

(1)、过 $A (0, - 1)$ 的直线 $y = k x - 1$ 与圆 $O$ 交于 $C, D$ 两点，与圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，若 $|C D| \cdot |M N| = 16$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若平面内动点 $P$ 满足： $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 6$ ，记 $P$ 的轨迹为 $W$ .
（i）求 $W$ 的方程；
（ii）过 $A (0, - 1)$ 的射线交圆 $O$ 于 $R$ ，交 $W$ 于 $Q$ ，且满足 $|A R| \cdot |A Q| = 3$ ，记直线 $O R$ ，直线 $O Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值.

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20、如图所示，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，侧面 $P B C$ 为直角三角形， $O$ 是 $P C$ 的中点， $Q$ 是直线 $A D$ 上的动点，过直线 $B C$ 的平面与侧棱 $P A$ ， $P D$ 分别交于 $N$ ， $M$ 且 $M N = 2$ ，其中 $B C = P B = 4$ ， $A C = A B = A P = 6$ .

(1)、求证： $M N / / A D$ ；

(2)、求异面直线 $M N$ 与 $P C$ 所成的角；

(3)、求直线 $O Q$ 与平面 $B C M N$ 所成角的正弦值的最大值.

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