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相关试卷

1、设复数 $z = \frac{1 + i^{2025}}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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2、已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{x - a}{x + 1}$ 为奇函数，且不为常函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - {log}_{2} (x - a)$ ，用定义法证明： $g (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减；

(3)、若（2）中的 $g (x)$ 对 $\forall x \in [7, 9]$ ，不等式 $g (x) < x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、已知点 $A (2, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $P (m, n)$ 在曲线 $x = \sqrt{1 - y^{2}}$ 上，记 $∠ A P B = α$ ，则存在函数 $f (x)$ ，对曲线上任意一点P都有（）

A、 $m = f (α)$ B、 $α = f (m)$ C、 $n = f (α)$ D、 $α = f (n)$

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4、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线交椭圆于 $M$ ， $N$ ，若 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，且 $\vec{M F_{1}} = 2 \vec{F_{1} N}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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5、如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线 $C : y^{2} = x^{3} - 2 x + 2$ 的一部分，则（）

A、点 $(1, 1)$ 在 $C$ 上 B、在 $(1, 1)$ 处 $C$ 的切线，其与 $C$ 的交点的横纵坐标均为整数 C、若 $C$ 在 $x$ 轴上方的部分为函数 $f (x)$ 的图象，则 $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 是 $f (x)$ 的极小值点 D、 $C$ 在 $y$ 轴左边的部分到坐标原点 $O$ 的距离均大于 $\sqrt{2}$

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6、如果方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0（D²＋E²－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有

A、D＝E B、D＝F C、F＝E D、D＝E＝F

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + (a - 2) x - 3, x < 0 \\ a \cdot 2^{x} - 2 a, x \geq 0 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[2, 3]$ B、 $[1, 2]$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2}, 2]$

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8、（1）已知：如图，两同心圆： $x^{2} + y^{2} = 3$ 和 $x^{2} + y^{2} = 4$ . $R$ 为大圆上一动点，连接 $O R$ （ $O$ 为坐标原点）交小圆于点 $K$ ，过点 $R$ 作 $x$ 轴垂线 $R H$ （垂足为 $H$ ），再过点 $K$ 作直线 $R H$ 的垂线 $K Q$ ，垂足为 $Q$ .当点 $R$ 在大圆上运动时，求证：垂足 $Q$ 的轨迹是椭圆，并求出椭圆 $Q$ 的轨迹方程.

（2）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，是以椭圆 $Q$ 为底面的“椭圆柱”， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为下底面椭圆的左右焦点， $A A^{'} = 4$ ， $P$ 为 $B B^{'}$ 上的中点， $E$ 为线段 $A^{'} B^{'}$ 上的动点， $M N$ 为过点 $F_{2}$ 的下底面椭圆的一条动弦（不与 $A B$ 重合）.求三棱锥 $E - P M N$ 的体积的取值范围.

（3）已知集合 $U = \{(x, y) |x, y \in R\}$ ， $A = \{(x, y) |3 x cos θ + 2 \sqrt{3} y sin θ - 6 = 0\}$ ，求集合 $B = ∁_{U} A$ 表示的面积.

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D,$ $B C = C D = 2,$ $A C = 4,$ $∠ A C B = ∠ A C D = 60^{\circ}$ .

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $F$ 为 $P C$ 的中点，且 $A F ⊥ P B$ ；
（i）求证：四棱锥 $P - A B C D$ 的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径；
（ii）求二面角 $B - A F - D$ 的正弦值.

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10、某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况.考虑沙难承受能力有限，超过1.4万人即停止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.
人数（万）
$[0, 0.2)$
$[0.2, 0.4)$
$[0.4, 0.6)$
$[0.6, 0.8)$
$[0.8, 1.0)$
$[1.0, 1.2)$
$[1.2, 1.4]$
频数（天）
8
8
16
24
24
a
32

(1)、绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求a和这组数据的 $65 %$ 分位数；

(2)、据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X（单位：个）为该沙难的人数（X为10的倍数，如有8006人，则X取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记Y为该店每日的利润（单位：元），求Y和X的函数关系式.以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.

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11、规定：若函数 $y_{1}$ 的图象与函数 $y_{2}$ 的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”.若函数 $y_{1} = |x - m| (m \in R)$ 与 $y_{2} = - \frac{2}{x}$ 互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 使得不等式 $x_{1} k^{2} - (3 x_{1} + x_{2} + x_{3}) k + 3 x_{1} \geq 0$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围为.

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12、已知直线 $l_{1} : a x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : (a - 1) x - a y + 2 = 0$ 垂直，则实数 $a$ 的值为．

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13、已知 $A (1, 1, 0)$ ， $B (3, 5, 6)$ ， $C (6, a, b)$ 三点共线，则 $a + b =$ .

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14、已知在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，外接圆半径为5，且满足 $4 \sin A + 3 \cos (B + C) + 3 \cos (B - C) = 8$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\sin A = \frac{4}{5}$ B、 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、 $b = 2 \sqrt{5}$ D、 $△ A B C$ 的面积为10

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15、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都是1，且 $∠ D A B = ∠ D A A_{1} = ∠ B A A_{1} = 60^{\circ}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $A C ⊥ B D_{1}$ B、 $B D_{1} = \sqrt{2}$ C、 $B D ⊥$ 平面 $A C C_{1}$ D、直线 $B D_{1}$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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16、已知圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (0 < r < 2)$ ，动圆 $M$ 与圆 $C_{1}$ ，圆 $C_{2}$ 都相切，若动圆圆心 $M$ 的轨迹是两个椭圆，且两个椭圆的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，顶点 $P$ 在底面的投影 $O$ 恰为正方形 $A B C D$ 的中心且 $A B = \sqrt{2}$ ，设点 $M 、 N$ 分别为线段 $P D$ 、 $P O$ 上的动点，已知当 $A N + M N$ 取最小值时，动点 $M$ 恰为 $P D$ 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为

A、 $\frac{9 π}{2}$ B、 $\frac{16 π}{3}$ C、 $\frac{25 π}{4}$ D、 $\frac{64 π}{9}$

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18、若D为椭圆 $Q : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上任意一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆Q的左右焦点， $G$ 为圆 $C_{1} : {(x - 5)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 上任意一点，则 $|D G| - |D F_{1}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 - \sqrt{5}$ C、 $2 - \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5} - 4$

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19、已知点 $P (1, 1)$ ，直线 $l : y = k x + 1$ ，则点P到直线l的距离的取值范围是（）

A、 $[0, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $[0, 1)$ D、 $[0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$

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20、已知集合 $U = \{x \in Z |x^{2} < 9\}$ ，集合 $A = \{- 2, 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $(- 1, 1)$

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人数（万）	$[0, 0.2)$	$[0.2, 0.4)$	$[0.4, 0.6)$	$[0.6, 0.8)$	$[0.8, 1.0)$	$[1.0, 1.2)$	$[1.2, 1.4]$
频数（天）	8	8	16	24	24	a	32