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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = \frac{n a_{n - 1} + 1}{n + 1}$ ．

(1)、证明数列 $\{(n + 1) a_{n}\}$ 是等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{a_{2}}{a_{1}} + \frac{a_{3}}{a_{2}} + \dots \dots + \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < n + \frac{3}{4}$ ．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2 B C = 2$ ，侧面 $P C D$ 是等边三角形，三棱锥 $A - P B D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $E$ 是棱 $C P$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $B D E$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值．

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ ，正项数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} b_{n} = 2^{11 - a_{n}}$

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项积 $T_{n}$ ．

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4、已知关于 $x$ 的方程 $f (x) - k = 0$ 恰有三个不同的实数根，则当函数 $f (x) = x^{2} e^{x}$ 时，函数 $f (x)$ 的极大值为，实数 $k$ 的取值范围是.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2^{n}$ ，则 $a_{n} =$ ．

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6、设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f^{'} (x)$ 为其导函数.当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ ， $f (1) = 0$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ D、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$

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7、若函数 $f (x) = - x + \frac{9}{x} + a ln x$ 单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, - 6]$ C、 $(- \infty, 6)$ D、 $(- \infty, 6]$

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{9} = S_{10} < S_{11}$ ，则下列不正确的是（）

A、 $a_{10} = 0$ B、 $d > 0$ C、 $S_{8} < S_{9}$ D、 $S_{17} < 0$

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9、已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数，且 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $y = f (x)$ 函数的图象可能是（）
函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象

A、 B、 C、 D、

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10、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ ，则 $a_{2025}$ 的值为（）

A、2 B、 $- 3$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11、数列 $\{{(- 1)}^{n} n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2022}$ 等于（）

A、1011 B、 $- 1011$ C、2022 D、 $- 2022$

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12、若图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45^{\circ}$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上， $A D = C D, B D = 1$ .

(1)、若 $△ B C D$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $A D^{2} - B C^{2}$ 的值；

(2)、若 $A C = \sqrt{2}$ ，求 $∠ A$ 的大小.

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13、在底面是菱形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A = A C = a$ ， $P B = P D = \sqrt{2} a$ ，点E在PD上，且 $P E : E D ＝ 2 : 1$ ，平面 $P A B \cap$ 平面 $P C D = l$ ．

(1)、证明： $l / / C D$ ；

(2)、在棱PC上是否存在一点F，使 $B F / /$ 平面 $A E C$ ？证明你的结论．

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14、设 $A D$ 是半径为5的半圆 $O$ 的直径(如图)， $B, C$ 是半圆上两点，已知 $A B = B C = \sqrt{10}$ ．

(1)、求 $\cos ∠ A O C$ 的值；

(2)、求 $\vec{D C} \cdot \vec{D B}$ 的值．

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15、已知幂函数 $f (x) = x^{m - 3} (m \in N^{*})$ 的图象关于 $y$ 轴对称，且 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，求满足 $f (a + 1 - m) < f (3 - 2 a - m)$ 的实数 $a$ 的取值范围．

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16、已知x，y为正实数，且 $x^{2} + x y + 4 y^{2} - z = 0$ ，当 $\frac{z}{x y}$ 最小时， $z - 4 x - y$ 的最小值为.

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17、校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为 $10 \sqrt{6} m$ (如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌时长为50 s，升旗手应以m/s的速度匀速升旗.

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18、已知定义在 $(0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足：当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则（）

A、 $3 f (4) > 4 f (3)$ B、函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 为增函数 C、函数 $y = x f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 为增函数 D、 $f (3 x_{1} + x_{2}) + f (x_{1} + 3 x_{2}) > 4 f (x_{1} + x_{2})$

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19、(多选题)在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，Q分别是棱D₁C₁ ， A₁D₁ ， BC的中点，点P在BD₁上且BP＝ $\frac{2}{3}$ BD₁ ，则下列说法正确的是（）

A、MN∥平面APC B、C₁Q∥平面APC C、A，P，M三点共线 D、平面MNQ∥平面APC

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20、已知 $a, b$ 均为大于0的实数，下列不等式中恒成立的是（）

A、 $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{a + 3} \geq \sqrt{a + 1} + \sqrt{a + 2}$ C、 $\frac{b + 1}{a + b + 1} > \frac{b}{a + b}$ D、 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} \geq a + \frac{1}{a}$

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