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相关试卷

1、若复数 $z = \frac{5}{1 - 3 i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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2、已知集合 $M = \{x |x = 3 k - 2, k \in Z\}$ ， $N = \{x |- 4 < x < 4\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ B、 ${- 2, - 1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${- 2, 1}$

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3、写出对任意 $x \in R$ ，都有 $sin (x + θ) = sin x sin θ + cos x cos θ$ 成立的一个θ的值：．

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4、 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $C = \frac{π}{4}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，则角 $B$ 大小为．

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5、已知函数 $f (x) = 2 cos x - cos 2 x (x \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $[- 3, 3]$ B、 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ C、 $f (x)$ 关于 $x = k π (k \in Z)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{3}, π]$ 上单调递减

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6、已知无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{2018} < S_{2019}$ 且 $S_{2019} > S_{2020}$ ，则（）

A、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}$ 最大； B、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2019}$ 最大 C、 $a_{2020} > 0$ D、当 $n \geq 2020$ 时， $a_{n} < 0$

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7、对于 $△ A B C$ ，有如下判断，其中正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ B、若 $cos A = cos B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 C、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B < {sin}^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 D、若 $a = 8, c = 10, B = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个

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8、如果 $\forall n \in Z^{+}$ ， $(a_{n + 1} - a_{n}) (b_{n + 1} - b_{n}) \geq 0$ ，那么称数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ “同增减”，以下说法中错误的是（）

A、两个单调递增数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 是同增减的 B、 $\forall c \in R$ 和任意数列 $\{a_{n}\} .$ 有 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n} = c a_{n}\}$ 同增减 C、 $\forall c \in R$ 和任意数列 $\{a_{n}\} .$ 有 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n} = c + a_{n}\}$ 同增减 D、 $\forall c \in R^{+}$ 和任意正数数列 $\{a_{n}\},$ 有 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n} = a_{n}^{c}\}$ 同增减

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9、在 $△ A B C$ 中，已知 $\frac{a \sin A}{a^{2} + c^{2} - b^{2}} = \frac{b \sin B}{b^{2} + c^{2} - a^{2}}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰或直角三角形 D、等边三角形

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10、已知集合 $A = \{x |(x + 1) (x - 2) \leq 0\}$ ， $B = \{x |x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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11、（1）证明： $\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}$ ；
（2）当 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ 时，利用所给图形证明（1）中等式；
（3）如图， $△ A B C$ 的外接圆半径为1， $A B > B C$ ， $∠ A B C$ 的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过D作 $D M ⊥ A B$ 于点M，利用（1）中等式，证明： $2 A M = B A + B C$ ．

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12、如图，双曲线 $C_{1} : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与 $C_{1}$ 有相同的渐近线和焦距．过 $C_{1}$ 上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作 $C_{2}$ 的两条切线，切点分别为A，B，A在 $x$ 轴上方，连接AB交 $C_{1}$ 于点M．
（注：过曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 外一点 $(x^{'}, y^{'})$ 作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为 $\frac{x^{'} x}{m} + \frac{y^{'} y}{n} = 1$ ）

(1)、求双曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、证明：直线AB与 $C_{1}$ 切于点M，且 $| A M | = | B M |$ ；

(3)、当点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在第三象限，且 $P M // B F_{2}$ 时，求 $S_{△ M F_{1} F_{2}}$ 的值．

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13、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C = C D = B D = 2$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ ．异面直线 $A C$ 和 $B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，点 $F$ 是线段 $A D$ 上的一个动点．

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若二面角 $B - C F - D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{7}$ ，求 $D F$ ．

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14、已知函数 $f (x) = x^{2} + x$ ．数列 $\{x_{n}\} (x_{n} < - 1)$ 的首项 $x_{1} = \frac{e}{1 - e}$ ．以后各项按如下方式取定：记曲线 $y = f (x)$ 在 $(x_{n}, f (x_{n}))$ 处的切线为 $l_{n}$ ，若 $f^{'} (x_{n}) \neq 0$ ，则记 $l_{n}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标是 $x_{n + 1}$ ．

(1)、证明：数列 $\{\ln \frac{x_{n}}{x_{n} + 1}\}$ 为等比数列；

(2)、设 $a_{n} = \ln \frac{x_{n}}{x_{n} + 1}$ ，求数列 $\{n \cdot a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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15、甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．

(1)、若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；

(2)、若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率．

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + t x (1 - \ln x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $1 < \frac{x_{2}}{x_{1}} < 2$ 时， $t$ 的取值范围是．

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17、过点 $A (- \frac{1}{8}, \frac{1}{8})$ 的直线 $l$ 与抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于 $M, N$ 两点，且 $O M ⊥ O N$ ， $O A ⊥ M N$ ，则 $p =$ ．

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18、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的平均数为3，方差为1，则数据 $3 x_{1} + 1$ ， $3 x_{2} + 1$ ， $3 x_{3} + 1$ ， …， $3 x_{n} + 1$ 的平均数与方差的和为．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{2 \cdot 4^{x}}{4^{x} + 4}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = f (\frac{n}{1013}) (n \in N^{*})$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．则（）

A、函数 $y = f (x)$ 的对称中心为 $(1, 1)$ B、函数 $y = f (x - 1) - 1$ 为奇函数 C、不等式 $f (3 x + 1) + f (2 x - 3) > 2$ 的解集为 $(\frac{4}{5}, + \infty)$ D、若 $S_{2025} = \frac{2025}{2} (a + b)$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{2 | a |} + \frac{| a |}{b}$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$

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20、如图，圆锥SO的底面圆直径为AB， $O S = O A$ ， $C O ⊥ A B$ ， D为底面圆上的动点，则（）

A、当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30° B、当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60° C、直线SD与AB所成角的最小值为45° D、直线SD与AB所成角的最大值为60°

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