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相关试卷

1、设A，B是两个随机事件， $0 < P (A) < 1$ ， $0 < P (B) < 1$ ，下列说法正确的是（）

A、若A，B相互独立， $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.3$ ，则 $P (\bar{A} \cup B) = 0.65$ B、若A，B互斥， $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.3$ ，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.2$ C、若 $P (\bar{A} | B) = P (B | \bar{A})$ ，则 $P (A) + P (B) = 1$ D、若 $P (\bar{A} |B) = P (\bar{A} |\bar{B})$ ，则 $P (A B) = P (A) P (B)$

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2、下列函数中，有两个零点的是（）

A、 $f (x) = e^{x} - x - 1$ B、 $f (x) = e^{x} - x - 2$ C、 $f (x) = \ln x - 2 x + 2$ D、 $f (x) = \ln x + \frac{2}{x} - 2$

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3、 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x})}^{7}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、展开式共有7项 B、展开式的二项式系数的和为128 C、展开式中 $x^{2}$ 的系数为14 D、展开式中第3项或者第4项的二项式系数最大

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4、函数 $f (x) = (x - a) \ln x - x$ 有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{e}, + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{e}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{e}, 0)$ D、 $(- \frac{1}{e}, 0)$

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5、人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.对于方程 $x^{2} - 2 = 0$ ，如果用二分法求近似解，给定初始区间 $[1, 2]$ ，若精确度 $ε = 0.1$ ，则至少需要经过4次迭代才能求出其近似解.牛顿在《流数法》一书中用“作切线”的方法求高次方程的近似解.从函数的观点看，给定一个初始值 $x_{0}$ ，在横坐标为 $x_{0}$ 的点处作函数的切线，切线与x轴交点的横坐标就是 $x_{1}$ ，用 $x_{1}$ 代替 $x_{0}$ 重复上面的过程得到 $x_{2}$ ，一直继续下去得到 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， …， $x_{n}$ .它们越来越逼近函数的零点r，当 $|x_{n} - x_{n - 1}| < ε$ 时， $x_{n}$ 或 $x_{n - 1}$ 即为方程的近似解.现给定初始值 $x_{0} = 2$ ，利用牛顿法求 $x^{2} - 2 = 0$ 的近似解，至少需要几次迭代也能达到同样的精确度（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、某城市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布 $N (78, 7^{2})$ .如果按照 $16 %, 34 %, 34 %, 16 %$ 的比例将考试成绩由高到低分为 $A, B, C, D$ 四个等级，那么 $B$ 等级的最高分数线约为（）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.68$ .

A、71 B、78 C、85 D、92

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7、随机变量X的分布列为 $P (X = 0) = 0.2$ ， $P (X = 1) = a$ ， $P (X = 2) = b$ .若 $E (X) = 1$ ，则 $D (X) =$ （）

A、0.2 B、0.4 C、0.6 D、0.8

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8、济南市某高中组织全部学生参加公益活动，其中高一、高二、高三年级人数之比为4：3：3，这三个年级分别又有20%，30%，40%的学生参加公益活动中的环保活动.从三个年级中任选一名学生，该学生参加环保活动的概率是（）

A、27% B、28% C、29% D、30%

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9、下列残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、函数 $f (x) = x \sin x$ 在点 $(- \frac{π}{2}, f (- \frac{π}{2}))$ 处的切线斜率为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $\frac{π}{2}$

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11、大明湖是济南三大名胜之一，素有“泉城明珠”之美誉，自2017年1月1日起全面向社会免费开放.景区有东南西北4个大门，每个大门进去都有不同景致，小明从一个门进，另一个门出，则不同进出方式的种数为（）

A、7 B、8 C、12 D、16

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} - m x, x \in (0, + \infty)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x \ln x - 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，
（i）求m的取值范围；
（ii）求证： $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形，过点 $P (1, 0)$ 且与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 与椭圆交于 $M, N$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $P$ 且平行于 $A M$ 的直线交直线 $x = \frac{5}{2}$ 于点 $Q$ ，求证：直线 $N Q$ 恒过定点.

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14、如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为 $C D$ 的中点，现将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，使得平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ，得到如图2所示的四棱锥 $D - A B C E$ ，点 $P$ 为棱 $D B$ 上一点.

(1)、证明： $A D ⊥ B E$ ；

(2)、是否存在点 $P$ ，使得直线 $E P$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ ？若存在，求 $D P : D B$ 的值；若不存在，请说明理由.

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15、如图，在梯形ABCD中， $A B ∥ C D$ ， $A B = B C = 2 C D = 2$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ，将 $△ A C D$ 沿AC折起，使点D到达点P位置，此时二面角 $P - A C - B$ 为 $120^{\circ}$ ，连接PB，得到三棱锥 $P - A B C$ ，则该三棱锥外接球的表面积为．

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16、第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是．

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17、 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} + y)}^{5}$ 的展开式中 $y$ 的系数为．

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18、画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) ， F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $F_{2} (\sqrt{2}, 0)$ ，其短轴上的一个端点到 $F_{2}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，点 $A$ 在椭圆上，直线 $l : b x + a y - a^{2} - b^{2} = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 与蒙日圆相切 B、椭圆 $C$ 的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 2$ C、若点 $P$ 是椭圆 $C$ 的蒙日圆上的动点，过点 $P$ 作椭圆 $C$ 的两条切线 $l_{1} ， l_{2}$ ，分别交蒙日圆于 $M ， N$ 两点，则 $M N$ 的长恒为4 D、记点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $d - |A F_{2}|$ 的最小值为 $2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

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19、若 ${(2 x - 1)}^{10} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{10} {(x - 1)}^{10}$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} = 3^{10}$ C、 $a_{2} = 180$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 10 a_{10} = 10 \times 3^{9}$

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20、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $A B, B C$ 的中点，以 $A$ 为顶点的三条棱长都是 $2, ∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = ∠ B A D = 60^{\circ}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $E F$ $//$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ C、 $A C_{1} = 3 \sqrt{2}$ D、 $A C_{1}$ 与 $A C$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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