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相关试卷

1、下列命题中是真命题的有（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} > x - 1$ B、 $\exists x > 0, x^{2} = x$ C、“ $x < 0$ ”是“ $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ ”的充分不必要条件 D、“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件

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2、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $\frac{\sqrt{3} a}{b} = 2 \sin (C + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 2$ ，过点B作 $B D ⊥ A C$ ， D为垂足，求BD的最大值．

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3、根据相关研究报告显示，预计 $2025$ 年电商交易额突破 $18$ 亿元，网购用户规模接近 $9$ 亿．下表为某网店统计的近 $5$ 个月的利润 $y$ （单位：万元），其中 $x$ 为月份代号．
月份
2024年12月
2025年1月
2025年2月
2025年3月
2025年4月
月份代号 $x$
1
2
3
4
5
利润 $y$ ／万元
8
6.3
5.1
3.2
2.4

(1)、依据表中的统计数据，计算样本相关系数 $r$ （ $r$ 精确到 $0.01$ ），判断是否可以用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系；若可用，求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并估计 $2025$ 年 $5$ 月该网店利润；若不可用，请说明理由；

(2)、该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过 $800$ 元可抽奖三次，每次中奖的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打 $9$ 折，中奖两次打 $8$ 折，中奖三次打 $6$ 折，其余情况不打折．方案二：从装有 $8$ 个形状大小、完全相同的小球（其中红球 $3$ 个，白球 $1$ 个，黑球 $4$ 个）的抽奖盒中，一次性摸出 $2$ 个球，其中奖规则为：若摸出 $1$ 个红球和 $1$ 一个白球打六折，摸出 $2$ 个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买 $1000$ 元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{b} = \bar{y} - \hat{a} \bar{x}$ ， $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

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4、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 如图所示， $3 A B = 3 A A_{1} = 6 A D = \sqrt{6} A_{1} B$ ， $∠ A B C = ∠ A D D_{1} = 120^{\circ}$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $\vec{D E} = \frac{1}{3} \vec{D C_{1}}$ ，求二面角 $A - A_{1} B - E$ 的余弦值．

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5、为迎接新一年五四青年节，某中学举办了一次名为《回首辉煌路，做好接班人》的党团史竞赛并计划对成绩前10%的学生进行颁奖.试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间 $[40, 100]$ 分内.已知该校高一、高二、高三年级参加的学生人数分别为200、250、300.现用分层抽样的方法抽取了75名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.
年级
样本平均数
样本方差
高一
75
75
高二
69
$s_{2}^{2}$
高三
$\bar{x_{3}}$
55

(1)、根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数以及得奖的最低分数；

(2)、已知所抽取各年级答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为80，求高三年级学生成绩的平均数 $\bar{x_{3}}$ 和高二年级学生成绩的方差 $s_{2}^{2}$ .

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6、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $cos A cos B + cos C = {sin}^{2} C - {sin}^{2} A - {sin}^{2} B$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $b = 5$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，且 $C D$ 是 $∠ A C B$ 的角平分线，求 $S_{△ A C D}$ .

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7、已知函数 $f (x) = \frac{4 {cos}^{4} x - 4 {cos}^{2} x + 1}{2 tan (\frac{π}{4} + x) {cos}^{2} (\frac{π}{4} + x)}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和值域；

(2)、先将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调递增区间.

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8、已知函数 $f (x) = sin (2 ω x + \frac{π}{6}) + cos 2 ω x (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{2}, π]$ 内不存在零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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9、已知一底面边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为.

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10、已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ，点 $M$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内一点（包含边界），下列说法正确的是（）

A、若点 $P$ 是 $A_{1} B_{1}$ 中点，则 $M$ 、 $P$ 、 $B$ 、 $D$ 四点共面 B、存在点 $P$ ，使得直线 $B P$ 与 $A A_{1}$ 所成角为 $60^{\circ}$ C、若直线 $B P //$ 平面 $A M B_{1}$ ，则三棱锥 $P - A M B_{1}$ 的体积为定值 D、若 $B P = \sqrt{6}$ ，那么 $P$ 点的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$

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11、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a + b = 4$ ，则 $a b$ 的最大值为 $4$ B、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为 $1$ C、若 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b \geq 9$ D、若 $a + 2 b + a b = 30$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为 $11$

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12、已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l_{1} // α$ 且 $α // β$ ，则 $l_{1} // β$ B、若 $m \subset α$ ， $n // α$ ， $m$ ， $n$ 共面，则 $m // n$ C、若 $l_{1}$ 不垂直于 $α$ ，且 $l_{2} \subset α$ ，则 $l_{1}$ 必不垂直于 $l_{2}$ D、若 $l_{1} ⊥ α$ 且 $α // β$ ，则 $l_{1} ⊥ β$

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13、已知 $f (x) = | {log}_{a} x |$ ， $a > 1$ ，记集合 $A = {x \in R |f (x) \leq 1}$ ， $B = {x \in R |f (f (x) + b) \leq 1}$ ，若 $A = B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3} + 1}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[\frac{\sqrt{6} + 1}{2}, + \infty)$ D、 $[\frac{\sqrt{5} + 1}{2}, + \infty)$

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14、已知一函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{|x|} - x^{2}$ ，其定义域为 $(- 4, 4)$ ，则满足不等式 $f (x) - f (2 x + 1) > 0$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, - \frac{1}{3})$ B、 $(- \frac{5}{2}, - 1)$ C、 $(- \frac{5}{2}, \frac{1}{3}) \cup (1, \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{5}{2}, - 1) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{3}{2})$

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15、一个袋子中有完全相同的 $x$ 个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是 $\frac{1}{10}$ .现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（）

A、 $\frac{36}{125}$ B、 $\frac{12}{125}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{4}{25}$

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16、在平行四边形 $A B C D$ 中， $P$ 是线段 $B D$ 上一点， $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{M B}$ ， $\vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ， $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ .若 $A P // M N$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{9}{17}$ C、 $\frac{10}{17}$ D、 $\frac{11}{17}$

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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18、已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $M = \{1, 2\}$ ， $N = \{2, 3\}$ ，则 $∁_{U} (M \cup N) =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 3, 4\}$

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19、若函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{3}]$ B、 $(0, \frac{4}{3}]$ C、 $(0, \frac{5}{3}]$ D、 $[\frac{2}{3}, \frac{5}{3}]$

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20、已知直线 $l_{1} : x - 2 y + 3 = 0, l_{2} : 2 x + 3 y - 8 = 0$ ．

(1)、求经过点 $A (1, 4)$ 且与直线 $l_{2}$ 垂直的直线方程；

(2)、求经过直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

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月份	2024年12月	2025年1月	2025年2月	2025年3月	2025年4月
月份代号 $x$	1	2	3	4	5
利润 $y$ ／万元	8	6.3	5.1	3.2	2.4

年级	样本平均数	样本方差
高一	75	75
高二	69	$s_{2}^{2}$
高三	$\bar{x_{3}}$	55