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相关试卷

1、定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x^{- 2} + \cos x$ ，若 $a = f (\frac{1}{2})$ ， $b = f (\log_{\frac{1}{4}} 3)$ ， $c = f (\sin \frac{1}{2})$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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2、设 $a \in R$ ， $z i = 3 + a i$ ，其中 $i$ 为虚数单位.则“ $|z| > \sqrt{10}$ ”是“ $a > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、在 $△ A B C$ 中，下列等式一定成立的是（）

A、 $\sin \frac{A + B}{2} = - \cos \frac{C}{2}$ B、 $\tan \frac{A + B}{2} = - \tan \frac{C}{2}$ C、 $\sin (2 A + 2 B) = - \sin 2 C$ D、 $\cos (2 A + 2 B) = - \cos 2 C$

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4、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{3}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{b}$

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5、地区生产总值(地区 $GDP$ )是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表：
年份编号x
1
2
3
4
5
地区生产总值y(百亿元)
14.64
17.42
20.72
25.20
30.08

(1)、该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布 $X \sim N (8.57, {0.82}^{2})$ ，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 $Y = 1$ 的概率；

(2)、该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为 $t = 0.2 x + 2.2$ ，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均 $GDP$ )u(万元)之间的线性回归方程 $u = b x + a$ .
参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数；
线性回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ 中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，
若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq x \leq μ + σ) \approx 0.68, P (μ - 2 σ \leq x \leq μ + 2 σ) \approx 0.95$ .

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6、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $Δ P B C$ 是边长等于2的正三角形， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $M$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $B C ⊥ P M$ ；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{3} ， c o s ∠ A C P = - \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求点 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离．

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7、已知函数 $f (x) = a ln x - b x^{2} + 1 (a, b \in R)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处与直线 $y = 0$ 相切.

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e^{2}]$ 上的最大值和最小值.（其中 $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数）

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8、已知 $α$ 是锐角，若 $tan 2 α = \frac{3 sin α}{cos α + sin α}$ ，则 $tan α =$ ．

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9、已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = 9, a_{3}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{4}$ 的等比中项，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{2} = 3$ B、 $d = - 1$ C、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是递增数列 D、当 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最大值为8

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10、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是 $A P ， B C$ 上的点， $\frac{A E}{E P} = \frac{B F}{F C}$ ，则下列条件可以确定 $E F / /$ 平面 $P C D$ 的是（）

A、 $A D / / B C$ B、 $A B / / C D$ C、 $B C / /$ 平面 $P A D$ D、 $C D / /$ 平面 $P A B$

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11、已知二项展开式 ${(1 - x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2025} = 0$ C、 $a_{1} + a_{2024} = 0$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2024} = 2^{2024}$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n + 1} - 1 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n + 1} ， n 为偶数 \end{array}$ ，若 $a_{4} \in [2, 3]$ ，则 $a_{1}$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 4]$ B、 $[1, 3]$ C、 $[3, 5]$ D、 $[5, 9]$

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13、已知随机变量 $ξ ~ N (3, 4)$ ，则“ $a = 3$ ”是“ $P (ξ < a) = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、6

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15、双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - x^{2} = 1 (a > 0)$ 的一个焦点为 $(0, 2)$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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16、记复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，若 $z = 3 + 4 i$ ，则 $\frac{1}{\bar{z}} =$ （）

A、 $\frac{3 - 4 i}{5}$ B、 $\frac{3 + 4 i}{5}$ C、 $\frac{3 - 4 i}{25}$ D、 $\frac{3 + 4 i}{25}$

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17、已知集合 $A = \{x ∣ 2^{x} > 4\}$ ，集合 $B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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18、如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数 $y = k \sqrt{x} (k > 0)$ 的图象的一部分，后一段DBC是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ， $x \in [4, 8]$ )的图象，图象的最高点为 $B (5, \frac{8 \sqrt{3}}{3})$ ，且 $D F ⊥ O C$ ，垂足为点F．

(1)、求函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $x \in [4, 8]$ )的解析式；

(2)、若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为 $\frac{4}{3}$ ，点E在OC上，求儿童乐园的面积．

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19、已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} {c o s}^{2} x - \sqrt{3}$ ．
$(1)$ 求函数 $f (x)$ 的单调减区间；
$(2)$ 将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{8})$ 上的值域．

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20、已知 $\sin \frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2} = 0$ .
（1）求 $\tan x$ 的值；
（2）求 $\frac{\cos 2 x}{\cos (\frac{5 π}{4} + x) \sin (π + x)}$ 的值.

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年份编号x	1	2	3	4	5
地区生产总值y(百亿元)	14.64	17.42	20.72	25.20	30.08