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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{3} = 10$ ， $S_{5} = 30$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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2、数列1， $- \frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{5}{16}$ ， …的一个通项公式为

A、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{n + 1}{2^{n}}$ B、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{2 n - 1}{2^{n}}$ C、 ${(- 1)}^{n} \frac{n + 1}{2 n}$ D、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{2 n - 1}{2 n}$

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3、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，如果对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (k x) = k f (x) (k \geq 2, k \in N^{*})$ 成立，则称 $f (x)$ 为 $k$ 阶伸缩函数.
（ $1$ ）若函数 $f (x)$ 为二阶伸缩函数，且当 $x \in (1, 2]$ 时， $f (x) = 1 + \log_{\frac{1}{3}} x$ ，求 $f (2 \sqrt{3})$ 的值.
（ $2$ ）若 $f (x)$ 为三阶伸缩函数，且当 $x \in (1, 3]$ 时， $f (x) = \sqrt{3 x - x^{2}}$ ，求证：函数 $y = f (x) - \sqrt{2} x$ 在 $(1, + \infty)$ 上无零点.
（ $3$ ）若函数 $f (x)$ 为 $k$ 阶伸缩函数，且当 $x \in (1, k]$ 时， $f (x)$ 的取值范围是 $[0, 1)$ ，求 $f (x)$ 在 $(0, k^{n + 1}] (n \in N^{*})$ 上的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = \sin ω x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} \frac{ω x}{2} - \sqrt{3}$ ， $(ω > 0)$ 满足 $f (x - \frac{2 π}{3}) + f (- x) = 0$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ 上单调递增.

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、设 $a \in [0, 2 π]$ .若函数 $y = f (x)$ 和 $y = f (x + a)$ 在 $[0, π]$ 上有相同的最大值，求 $a$ 的取值范围.

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5、已知锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (a - (c - b) \cos B, \sin B)$ ， $\vec{n} = (b + (c - b) \cos A, \sin A)$ ， $\vec{m} ∥ \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $\frac{a^{2} - c^{2}}{b^{2}}$ 的取值范围.

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6、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{b c}{3 \sin C}$ ， $\tan A \tan C = 4$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $∠ A B C$ 的角平分线 $B D$ 与边 $A C$ 相交于点 $D$ ， $B D = \frac{6 \sqrt{3}}{5}$ ， $b = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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7、已知 $\vec{a} = (cos α, sin α)$ ， $\vec{b} = (cos β, sin β)$ ， $0 < β < α < π$ .

(1)、若 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{c} = (- 1, 0)$ ，若 $\vec{a} - \vec{b} = \vec{c}$ ，求 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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8、设 $y = m (m > 0)$ 与 $f (x) = \frac{1}{2} \sin (2 x + φ)$ 图象的相邻3个公共点自左向右依次为A，B，C，若 $|A B| = 2 |B C|$ ，则m的值为.

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9、已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z$ 满足 $|z - 4 i| = 2$ ，则 $|z + 1 - i|$ 的取值范围是.

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10、通过等式 $a^{b} = c$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则 $y = x^{b}$ ，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令 $c = e$ ，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（ $x > 0$ ， $x \neq 1$ ），则b为x的函数，记为 $y = f (x)$ ，下列关于函数 $y = f (x)$ 的叙述中正确的有（）

A、 $f (e^{2}) = \frac{1}{2}$ B、 $\forall x \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$ ， $e^{f (x)} = \frac{1}{x}$ C、若 $m > n > 0$ ，且m，n均不等于1， $|f (m)| = |f (n)|$ ，则 $m^{2} + 4 n^{2} \geq 4$ D、若对任意 $x \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$ ，不等式 $(m x^{2} + x + 2 m - 1) f (x) > 0$ 恒成立，则实数m的值为0

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11、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ B、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ C、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ D、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$

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12、锐角 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，满足 $2 b \cos \frac{A}{2} = a \cos (\frac{A}{2} - B)$ ，若 $\cos (C - B) + λ \cos A$ 存在最大值，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \sqrt{2})$ B、 $(1, \sqrt{3})$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, 4)$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ A = 120 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 边上的点，且 $\vec{A E} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = y \vec{A C}$ ，且 $2 x + y = 1$ ，若线段 $E F$ ， $B C$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ，则 $| \vec{M N} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{39}}{26}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ D、 $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

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14、设O是坐标原点，单位圆O上一点A，射线OA绕着O点逆时针旋转 $θ$ 后得到OP，P为与单位圆的交点，P的坐标为 $(a, b)$ ，则A的坐标为（）

A、 $(a cos θ + b sin θ, b cos θ - a sin θ)$ B、 $(b cos θ - a sin θ, a cos θ + b sin θ)$ C、 $(a sin θ + b cos θ, a cos θ - b sin θ)$ D、 $(a cos θ - b sin θ, a sin θ + b cos θ)$

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15、定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x^{- 2} + \cos x$ ，若 $a = f (\frac{1}{2})$ ， $b = f (\log_{\frac{1}{4}} 3)$ ， $c = f (\sin \frac{1}{2})$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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16、设 $a \in R$ ， $z i = 3 + a i$ ，其中 $i$ 为虚数单位.则“ $|z| > \sqrt{10}$ ”是“ $a > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、在 $△ A B C$ 中，下列等式一定成立的是（）

A、 $\sin \frac{A + B}{2} = - \cos \frac{C}{2}$ B、 $\tan \frac{A + B}{2} = - \tan \frac{C}{2}$ C、 $\sin (2 A + 2 B) = - \sin 2 C$ D、 $\cos (2 A + 2 B) = - \cos 2 C$

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18、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{3}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{b}$

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19、地区生产总值(地区 $GDP$ )是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的 x值为1，2020 年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表：
年份编号x
1
2
3
4
5
地区生产总值y(百亿元)
14.64
17.42
20.72
25.20
30.08

(1)、该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布 $X \sim N (8.57, {0.82}^{2})$ ，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求 $Y = 1$ 的概率；

(2)、该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为 $t = 0.2 x + 2.2$ ，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均 $GDP$ )u(万元)之间的线性回归方程 $u = b x + a$ .
参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数；
线性回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ 中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，
若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq x \leq μ + σ) \approx 0.68, P (μ - 2 σ \leq x \leq μ + 2 σ) \approx 0.95$ .

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20、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $Δ P B C$ 是边长等于2的正三角形， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $M$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $B C ⊥ P M$ ；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{3} ， c o s ∠ A C P = - \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求点 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离．

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年份编号x	1	2	3	4	5
地区生产总值y(百亿元)	14.64	17.42	20.72	25.20	30.08