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相关试卷

1、若复数 $z$ 满足 $1 + i z = i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、i

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2、甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是 $\frac{3}{4}$ ，其余4对双打获胜的概率均是 $\frac{1}{2}$ .

(1)、若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率；

(2)、求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率.

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3、6位同学报名参加2022年杭州里运会4个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目．

(1)、6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种?

(2)、若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式?

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4、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点为 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 函数 $f (x)$ 的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数 $g (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 2$ ，利用上述探究结果计算： $g (\frac{1}{2025}) + g (\frac{2}{2025}) + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + g (\frac{4048}{2025}) + g (\frac{4049}{2025}) =$ ；

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5、某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为 $\frac{1}{2}$ ，答对每道不会的题的概率为 $\frac{1}{4}$ ，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为．

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6、如图所示，积木拼盘由 $A, B, C, D, E$ 五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如： $A$ 与 $B$ 为相邻区域， $A$ 与 $D$ 为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是.

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7、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = x^{2} + k x$ （其中 $k \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，设 $a = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ， $b = \frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ，则（）

A、对于任意不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $a > 0$ B、对于任意的 $k$ 及任意不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $b > 0$ C、对于任意的 $k$ ，一定存在不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $\frac{b}{a} = 2$ D、若存在不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $\frac{b}{a} = - 2$ ，则 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, - 4)$

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8、若 ${(1 - 2 x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 1$ B、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} + 6 a_{6} = 12$ C、当 $x = - 4$ 时， ${(1 - 2 x)}^{6}$ 除以8的余数是1 D、展开式中二项式系数最大项为第3项

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9、已知 $f (x) = 3 f (2 - x) + 2 x^{2} - \ln x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $3 x + 2 y - 1 = 0$ B、 $3 x - 4 y + 7 = 0$ C、 $3 x + 2 y + 1 = 0$ D、 $3 x - 4 y - 7 = 0$

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10、今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过 $2^{50}$ 天后是星期（）

A、二 B、三 C、四 D、五

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11、有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（）

A、8 B、144 C、120 D、280

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12、已知函数 $f (x) = cos x - 1$ ，则 $\lim_{t \to 0} \frac{f (π + t) - f (π)}{t} =$ （）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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13、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 是1，2，…， $n$ （ $n \geq 3$ 且 $n \in N^{*}$ ）的一个排列.数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{i + 1}$ 为 $a_{i}$ ， $a_{i + 1}$ ， $a_{i + 2}$ （ $0 \leq i \leq n - 1$ ）的中位数，规定 $a_{0} = a_{n}$ ， $a_{n + 1} = a_{1}$ .将 $\{b_{n}\}$ 中的所有取值构成的集合记为 $P_{n}$ .

(1)、当 $n = 3, 4$ 时，求 $P_{3}$ 和 $P_{4}$ ；

(2)、求 $P_{n}$ 中所有元素之和的最大值；

(3)、求 $P_{n}$ 中元素个数的最小值.

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14、已知抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线 $l$ 的距离为2，点 $D (p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $Γ$ 于 $A$ ， $B$ 两点，过 $A$ ， $B$ 分别作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，直线 $A_{1} D$ ， $B_{1} D$ 与直线 $A B$ 分别交于点 $M$ ， $N$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、记 $M$ ， $N$ 的纵坐标分别为 $y_{M}$ ， $y_{N}$ ，当 $\frac{1}{y_{M}} + \frac{1}{y_{N}} = 1$ 时，求直线 $A B$ 的斜率；

(3)、设 $E$ 为 $x$ 轴上一点，记 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 分别为直线 $M E$ ， $N D$ 的斜率.若 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值，求点 $E$ 的坐标.

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15、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = C D = B D = 2$ ， $A B ⊥ B D$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 翻折至 $△ B P D$ ，其中 $P$ 为动点.

(1)、设 $A P = A D$ ，
（ⅰ）证明： $A B ⊥$ 平面 $B P D$ ；
（ⅱ）求三棱锥 $P - A B D$ 的体积；

(2)、求直线 $A P$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值的最大值.

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16、已知函数 $f (x) = x e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - a x$ （ $a \in R$ ）.

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、当 $a > \frac{1}{e}$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、当 $a > 0$ 时，设 $f (x)$ 的极大值为 $g (a)$ ，求证： $g (a) \geq - \frac{2}{e^{2}}$ .

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17、某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表：
新能源汽车 $A$ 款
新能源汽车 $B$ 款
总计
男性
50
10
$x$
女性
25
15
40
总计
$y$
25
100

(1)、求 $x, y$ ；

(2)、根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？

(3)、假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$P (χ^{2} \geq k)$
0.10
0.05
0.010
0.005
$k$
2.706
3.841
6.635
7.879

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18、甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合 $A$ ， $B$ ， $C$ ，记 $A \cap B \cap C$ 中元素的个数为 $m$ ，则 $m \geq 1$ 的概率为.

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19、已知 $⊙ O$ 是单位圆，正三角形 $A B C$ 的顶点 $A$ ， $B$ 在 $⊙ O$ 上，则 $|O C|$ 的最大值为.

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20、曲线 $y = 3^{x}$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程是.

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	新能源汽车 $A$ 款	新能源汽车 $B$ 款	总计
男性	50	10	$x$
女性	25	15	40
总计	$y$	25	100

$P (χ^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.010	0.005
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879