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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2^{n}}$ ，则此数列的通项公式 $a_{n}$ 等于（）

A、 $2 n$ B、 $n (n + 1)$ C、 $\frac{n}{2^{n - 1}}$ D、 $\frac{n (n + 1)}{2^{n}}$

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2、已知点 $P$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 左支上一点 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线的左、右两个焦点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}, P F_{2}$ 与两条渐近线相交于 $M, N$ 两点（如图），点 $N$ 恰好平分线段 $P F_{2}$ ，则双曲线的离心率是．

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3、如图，在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = \sqrt{2}$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，该棱台体积 $V = \frac{14 \sqrt{3}}{3}$ ，则该棱台外接球的表面积为．

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4、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，下顶点为 $B$ ．且过点 $C (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ．

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、若直线 $l : y = x + m$ 上存在一点P， $Γ$ 上存在一点Q，使 $△ P A Q$ 是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求实数m的取值范围；

(3)、若椭圆 $Γ$ 上的三个动点D，E，F满足 $D E / / A B, D F / / B C$ ，证明： $A F / / C E$ ．

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5、已知圆 $C : {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 12$ ，直线 $l : (3 t + 1) x + (t + 1) y - 4 t - 2 = 0 (t \in R)$ 恒过定点 $P$ ．

(1)、求点 $P$ 的坐标；

(2)、若过 $P$ 的直线 $m$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $△ A B C$ 为正三角形，求直线 $m$ 的方程．

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6、已知锐角 $△ A B C$ 的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $c (2 \sin A \sin B - \sqrt{3} \sin C) = \sqrt{3} (b \sin B - a \sin A)$ ．

(1)、求A的值．

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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7、将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率；

(1)、三次点数均相同；

(2)、三次点数之和为8．

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8、如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个同的网格点A，B，C，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最大值与最小值的和为．

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9、空间中 $A (1, 0, 0), B (0, 1, 0), C (1, 1, 2), D (0, 0, 1), E (1, a, b)$ ，其中 $a, b \in R$ ，且 $D E ⊥$ 平面ABC，则 $a + b$ 的值为．

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10、将直线 $x - \sqrt{3} y = 0$ 绕点 $(\sqrt{3}, 1)$ 逆时针旋转 $30 °$ 得到的直线方程为．

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11、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ，点P在 $△ A B A_{1}$ 的内部（含边界）运动，则（）

A、 $|C_{1} P|$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$ B、 $|C_{1} P| + |P A|$ 的最小值为 $\frac{3 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{2}$ C、三棱锥 $P - B_{1} C D_{1}$ 体积的取值范围为 $[\frac{9}{2}, 9]$ D、当P在棱 $A A_{1}$ 上运动时，三棱锥 $P - B_{1} C D_{1}$ 外接球半径的最小值为 $6 \sqrt{2} - 6$

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12、已知 $A$ 为直线 $l : x + 2 y + 3 = 0$ 上的动点，下列结论正确的是（）

A、若 $| A P | = 2$ ，则点 $P$ 的轨迹是一个圆 B、若 $\vec{A P} = (1, 2)$ ，则点 $P$ 的轨迹是一条直线 C、若 $\vec{A P} = (1, 2)$ ，则点 $P$ 到 $l$ 的距离为 $\sqrt{5}$ D、 $\vec{n} = (1, 2)$ 是 $l$ 的一个方向向量

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13、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，设过点 $P (0, b)$ 组平行于 $l_{1} : y = \frac{a}{b} x$ 的直线交 $l_{2} : y = - \frac{a}{b} x$ 于点Q．若 $F_{1} Q ⊥ F_{2} Q$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{14 - 2 \sqrt{41}}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{14 + 2 \sqrt{41}}}{2}$

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14、曲线 $Γ : x^{2} + y^{2} = |x| y + 1$ 的对称轴的条数为（）

A、9 B、1 C、2 D、3

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15、在 $△ A B C$ 中， $\tan A = \frac{1}{2}$ ， $\tan B = \frac{1}{3}$ ，最短边的长为 $\sqrt{5}$ ，则最长边的长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{15}$ D、5

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16、设 $a = e^{\frac{5}{6}}, b = \ln \frac{6}{5}, c = \sin \frac{6}{5}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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17、已知直线l不平行于平面 $α$ ， “ $l ⊄ α$ ”是“ $α$ 内存在无数条直线与l相交”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x + a = 0$ ，其中 $a \in R$ ，下列各点中一定在圆C内的是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, - 1)$ C、 $(0, 0)$ D、 $(1, 0)$

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19、已知 $z = \sqrt{3} + i$ ，则 $\frac{z^{2} - |z|}{z} =$ （）

A、 $\sqrt{3} + i$ B、 $\sqrt{3} - i$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i$

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20、设集合 $A = \{2024, 11, 5\}, B = \{1, 9, 5, 6\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\{5\}$ B、 $\{2024, 11\}$ C、 $\{1, 9, 6\}$ D、 $\{2024, 11, 1, 9, 5, 6\}$

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