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相关试卷

1、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ，点P在 $△ A B A_{1}$ 的内部（含边界）运动，则（）

A、 $|C_{1} P|$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$ B、 $|C_{1} P| + |P A|$ 的最小值为 $\frac{3 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{2}$ C、三棱锥 $P - B_{1} C D_{1}$ 体积的取值范围为 $[\frac{9}{2}, 9]$ D、当P在棱 $A A_{1}$ 上运动时，三棱锥 $P - B_{1} C D_{1}$ 外接球半径的最小值为 $6 \sqrt{2} - 6$

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2、已知 $A$ 为直线 $l : x + 2 y + 3 = 0$ 上的动点，下列结论正确的是（）

A、若 $| A P | = 2$ ，则点 $P$ 的轨迹是一个圆 B、若 $\vec{A P} = (1, 2)$ ，则点 $P$ 的轨迹是一条直线 C、若 $\vec{A P} = (1, 2)$ ，则点 $P$ 到 $l$ 的距离为 $\sqrt{5}$ D、 $\vec{n} = (1, 2)$ 是 $l$ 的一个方向向量

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3、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，设过点 $P (0, b)$ 组平行于 $l_{1} : y = \frac{a}{b} x$ 的直线交 $l_{2} : y = - \frac{a}{b} x$ 于点Q．若 $F_{1} Q ⊥ F_{2} Q$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{14 - 2 \sqrt{41}}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{14 + 2 \sqrt{41}}}{2}$

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4、曲线 $Γ : x^{2} + y^{2} = |x| y + 1$ 的对称轴的条数为（）

A、9 B、1 C、2 D、3

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5、在 $△ A B C$ 中， $\tan A = \frac{1}{2}$ ， $\tan B = \frac{1}{3}$ ，最短边的长为 $\sqrt{5}$ ，则最长边的长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{15}$ D、5

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6、设 $a = e^{\frac{5}{6}}, b = \ln \frac{6}{5}, c = \sin \frac{6}{5}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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7、已知直线l不平行于平面 $α$ ， “ $l ⊄ α$ ”是“ $α$ 内存在无数条直线与l相交”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x + a = 0$ ，其中 $a \in R$ ，下列各点中一定在圆C内的是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, - 1)$ C、 $(0, 0)$ D、 $(1, 0)$

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9、已知 $z = \sqrt{3} + i$ ，则 $\frac{z^{2} - |z|}{z} =$ （）

A、 $\sqrt{3} + i$ B、 $\sqrt{3} - i$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i$

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10、设集合 $A = \{2024, 11, 5\}, B = \{1, 9, 5, 6\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\{5\}$ B、 $\{2024, 11\}$ C、 $\{1, 9, 6\}$ D、 $\{2024, 11, 1, 9, 5, 6\}$

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11、已知复数z满 $z i = 2 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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12、若幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2, \frac{1}{2})$ ，则 $f (\frac{1}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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13、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， $B P, A P, B C$ 的中点分别为 $D, E, O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上， $B F ⊥ A O$ ．

(1)、求证： $E F$ //平面 $A D O$ ；

(2)、若 $∠ P O F = 120 °$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积．

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14、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\tan α = \frac{3}{4}$ ， $\cos (α - β) = \frac{5}{13}$ .

(1)、求 $\sin (α - \frac{π}{4})$ ；

(2)、求 $\sin β$ .

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15、函数 $f (x) = 4 x + \frac{9}{x + 1}$ ， $x \in (- 1, + \infty)$ 的最小值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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16、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ，点P满足 $\vec{C P} = λ \vec{C D} + μ \vec{C C_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1], μ \in [0, 1]$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $B_{1} P / /$ 平面 $A_{1} B D$ 时， $B_{1} P$ 不可能垂直 $C D_{1}$ B、若 $B_{1} P$ 与平面 $C C_{1} D_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则点P的轨迹长度为 $\frac{π}{2}$ C、当 $λ = 1$ 时，正方体经过点 $A_{1}$ 、P、C的截面面积的取值范围为 $[\frac{\sqrt{6}}{4}, \sqrt{2}]$ D、当 $λ = μ$ 时， $| \vec{D P} | + | \vec{A_{1} P} |$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

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17、已知 $f (x) = - x^{2} - \cos x$ ，若 $a = f (e^{- \frac{3}{4}})$ ， $b = f (\ln \frac{4}{5})$ ， $c = f (- \frac{1}{4})$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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18、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知 $M$ 是 $△ A B C$ 内一点， $△ B M C$ ， $△ A M C$ ， $△ A M B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{M A} + S_{B} \cdot \vec{M B} + S_{C} \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ .若 $M$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $3 \vec{M A} + 4 \vec{M B} + 5 \vec{M C} = \vec{0}$ ，则 $cos ∠ A M B =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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19、已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为．

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20、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在区间 $[a, b]$ 上的连续函数，若 $\exists k \in (0, + \infty)$ ，使得 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [a, b]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq k |x_{1} - x_{2}|$ ，则称函数 $y = f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的 “ $k$ 类函数”．下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x) = x^{2} - x$ 是区间 $[- 1, 2]$ 上的 “ 3 类函数” B、函数 $f (x) = sin x - x cos x$ 是区间 $[1, \frac{π}{2}]$ 上的 “ 2 类函数” C、若函数 $y = f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的 “ $k$ 类函数”，则方程 $f (x) = (k + 1) x$ 在区间 $[a, b]$ 上至多只有一个解 D、若函数 $f (x)$ 是区间 $[0, 1]$ 上的 “ 2 类函数”，且 $f (0) = f (1)$ ，则存在满足条件的函数 $f (x) ， \exists x_{1} ， x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$

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