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相关试卷

1、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2.

(1)、求 $C$ 的方程：

(2)、已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 满足 $\vec{P Q} = 3 \vec{Q F}$ ，求直线 $O Q$ 斜率的最大值.

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2、已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若在曲线 $E_{1}$ 的方程 $F (x, y) = 0$ 中，以 $(λ x, λ y)$ （ $λ$ 为非零的正实数）代替 $(x, y)$ 得到曲线 $E_{2}$ 的方程 $F (λ x, λ y) = 0$ ，则称曲线 $E_{1}$ ， $E_{2}$ 关于原点“伸缩”，变换 $(x, y) \to (λ x, λ y)$ 称为“伸缩变换”， $λ$ 称为伸缩比.

(1)、已知曲线 $E_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，伸缩比 $λ = \frac{1}{2}$ ，求 $E_{1}$ 关于原点“伸缩变换”后所得曲线 $E_{2}$ 的方程；

(2)、射线 $l$ 的方程 $y = \sqrt{2} x (x \geq 0)$ ，如果椭圆 $E_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 经“伸缩变换”后得到椭圆 $E_{2}$ ，若射线 $l$ 与椭圆 $E_{1}$ ， $E_{2}$ 分别交于两点 $A$ ， $B$ ，且 $|A B| = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求椭圆 $E_{2}$ 的方程；

(3)、对抛物线 $E_{1} : x^{2} = 2 p_{1} y$ ，作变换 $(x, y) \to (λ_{1} x, λ_{1} y)$ ，得抛物线 $E_{2} : x^{2} = 2 p_{2} y$ ；对 $E_{2}$ 作变换 $(x, y) \to (λ_{2} x, λ_{2} y)$ ，得抛物线 $E_{3} : x^{2} = 2 p_{3} y$ ；如此进行下去，对抛物线 $E_{n} : x^{2} = 2 p_{n} y$ 作变换 $(x, y) \to (λ_{n} x, λ_{n} y)$ ，得抛物线 $E_{n + 1} : x^{2} = 2 p_{n + 1} y$ ， …若 $p_{1} = 1$ ， $λ_{n} = 2^{n}$ ，求数列 $\{p_{n}\}$ 的通项公式 $p_{n}$ .

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $(q - 1) S_{n} = q a_{n} - 1, (q > 0)$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、当 $q = 2$ 时，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{n + 2}{n (n + 1) a_{n}}$ ，求证： $\frac{3}{2} \leq b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} < 2$ ；

(3)、若对任意正整数n都有 $a_{n + 1} \geq n$ 成立，求正实数q的取值范围．

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5、如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2 D E = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $C F = 2$ ，且 $C F ⊥$ 平面 $A B C$ .设P，Q，R分别为棱 $A C$ ， $F C$ ， $B C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $B C D ⊥$ 平面 $P Q R$ ；

(2)、求平面 $B C D$ 与平面 $B D E$ 所成的角的余弦值.

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6、三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角 $α$ 为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积 $S_{1}$ 与大正方形的面积 $S_{2}$ 之比为 $1 : 16$ ，则 $cos (α - \frac{π}{4}) =$ .

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7、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为1，则该球的表面积为.

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8、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |x^{2} < 9\}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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9、已知函数 $f (x) = e^{\sin x} - e^{\cos x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上有且仅有一个极值点

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10、下列说法正确的是（）

A、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c < 0$ 的解集为 $\{x | x < - 1$ 或 $x > 2\}$ ，则 $a + c = 2$ B、若命题p： $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x - 1 > \ln x$ ，则p的否定为： $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $x - 1 < \ln x$ C、在△ABC中，“ $\sin A + \cos A = \sin B + \cos B$ ”是“ $A = B$ ”的充要条件 D、若 $m x^{2} + 3 x + 2 m < 0$ 对 $\forall m \in [0, 1]$ 恒成立，则实数x的取值范围为 $(- 2, - 1)$

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11、若复数 $z$ 满足 $z + i^{2023} = \frac{2 - i}{2}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A、 $|z| = \frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在第四象限 C、 $z$ 的虚部为 $\frac{i}{2}$ D、 $z^{2} = \frac{5}{4} + i$

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12、定义：在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = d (n \in N^{*})$ ，其中 $d$ 为常数，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“等比差”数列．已知“等比差”数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 3$ ，则 $\frac{a_{24}}{a_{22}} =$ （）

A、1763 B、1935 C、2125 D、2303

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13、若函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{a}{2} x^{2} + x + 1$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 3)$ 内有极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2, \frac{5}{2})$ B、 $[2, \frac{5}{2})$ C、 $(2, \frac{10}{3})$ D、 $[2, \frac{10}{3})$

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14、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的 $a$ 值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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15、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{7} = 18$ ， $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 21$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、32 B、64 C、80 D、128

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16、已知向量 $\vec{a} = (\log_{2} 3, \sin \frac{4 π}{3})$ ， $\vec{b} = (\log_{3} 8, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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17、已知直线 $l$ 、 $m$ 、 $n$ 与平面 $α$ 、 $β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $α / / β$ ， $l \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $l / / n$ B、若 $α ⊥ β$ ， $l \subset α$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $l ⊥ n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $l / / m$ D、若 $l ⊥ α$ ， $l / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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18、下列说法正确的是（）

A、若直线的一个方向向量为 $(2, 3)$ ，则该直线的斜率为 $k = \frac{3}{2}$ B、方程 $y - 3 = k (x + 2)$ 表示过点 $(- 2, 3)$ 的所有直线 C、当点 $P (3, 2)$ 到直线 $m x - y + 1 - 2 m = 0$ 的距离最大时， $m$ 的值为 $- 1$ D、已知直线 $l$ 过定点 $P (1, 0)$ 且与以 $A (2, - 3)$ 、 $B (- 3, - 2)$ 为端点的线段有交点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, - 3] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x - 1} + 1, x \leq 2 \\ |{log}_{2} (x - 2)|, x > 2 \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - (a + 8) f (x) - a = 0$ 有 $6$ 个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 4, - \frac{15}{4}]$ B、 $[- \frac{15}{4}, 0)$ C、 $(- 4, 0)$ D、 $(- 4, - \frac{7}{2})$

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20、已知函数 $f (x) = 3 - \frac{a}{2^{x} + 1}$ 是定义域在R上的奇函数．

(1)、求实数a的值：

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(3)、若对任意的 $t \in [0, + \infty),$ 不等式 $f (2^{t} - k \cdot 4^{t}) + f (4^{t} - 9 k + 13) \leq 0$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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