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相关试卷

1、共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“ $Tullock$ 竞争函数”进行近似估计，其解析式为 $S (x) = \frac{x^{a}}{x^{a} + {(1 - x)}^{a}}, x \in [0, 1], a > 0$ （其中参数a表示市场外部性强度，a越大表示外部性越强）．给出下列四个结论：
① $S (x)$ 过定点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ；
② $S (x)$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增；
③ $S (x)$ 关于 $x = \frac{1}{2}$ 对称；
④取定x，外部性强度a越大， $S (x)$ 越小．
其中所有正确结论的序号是．

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x}, x \geq 0, \\ - x^{2}, x < 0, \end{matrix}$ 则 $f (x)$ 的单调递增区间为；满足 $| f (x) | < 4 \times 10^{4}$ 的整数解的个数为．（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30$ ）

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3、已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} - a$ 没有零点，则a的一个取值为；a的取值范围是．

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4、农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位： $cm$ ）：

记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a，b，则 $| a - b | =$ ；
若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为 $s_{1}, s_{2}$ ，则 $s_{1}$ $s_{2}$ （用“<，>或=”连接）．

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5、已知函数 $f (x) = \log_{2} (x + 1) + x - 2$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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6、在同一个坐标系中，函数 $f (x) = {log}_{a} x, g (x) = a^{- x}, h (x) = x^{a}$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7、命题“ $\exists x \in R, x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R, x + 2 > 0$ B、 $\exists x \in R, x + 2 < 0$ C、 $\forall x \in R, x + 2 > 0$ D、 $\forall x \in R, x + 2 < 0$

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8、某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（）

A、150人 B、200人 C、250人 D、300人

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9、已知点 $P (m, 1)$ 是角 $α$ 终边上的一点，且 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $- 2 \sqrt{2}$ 或2 D、 $- 2 \sqrt{2}$ 或 $2 \sqrt{2}$

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10、已知正三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{6}}{4}, A B = \sqrt{3}$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、 $7 π$ B、 $\frac{7 π}{2}$ C、 $9 π$ D、 $\frac{9 π}{2}$

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11、对于两个定义域相同的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，若存在实数 $m, n$ ，使 $h (x) = m f (x) + n g (x)$ ，则称函数 $h (x)$ 是由“基函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ”生成的.

(1)、若 $h (x) = 9 x + \frac{4}{x}$ 是由“基函数 $f (x) = 2 x - \frac{1}{x} + a$ 和 $g (x) = \frac{1}{2} x + \frac{4}{x} - 2$ ”生成的，求 $a$ 的值；

(2)、试利用“基函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + 1)$ 和 $g (x) = \frac{1}{2} x + 1$ ”生成一个函数 $h (x)$ ，满足 $h (x)$ 为偶函数，且 $h (0) = - 1$ .
①求函数 $h (x)$ 的解析式；
②已知 $n \geq 3, n \in N^{*}, x_{0} = - 1, x_{n} = 1$ ，对于 $(- 1, 1)$ 上的任意值 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - 1} (x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n - 1})$ ，记 $M = \sum_{i = 1}^{n} |h (x_{i}) - h (x_{i - 1})|$ ，求 $M$ 的最大值.（注： $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}$ .）

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12、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x + 1}}{2^{x} + 1}$ 是奇函数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用单调性定义证明；

(3)、若存在 $x > 0$ ，使得关于x的不等式 $f (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + f (- k x - \frac{k}{x}) > 0$ 能成立，求实数k的取值范围．

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13、已知实数x，y满足 $e^{x + 1} + x = \frac{3}{2}$ ， $\frac{1}{2} y^{2} + \ln y = \frac{5}{4}$ ，则 $\frac{e^{x}}{y^{2}} =$ .

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14、下列结论中正确的是（）

A、命题“ $\forall x \in R, \sin x \geq - 1$ ”的否定是“ $\exists x \in R, \sin x < - 1$ ” B、函数 $f (x) = a^{x - 2} - 3 (a > 0, a \neq 1)$ 的图象必过定点 $(2, - 2)$ C、若某扇形的周长为 $6cm$ ，面积为 ${2cm}^{2}$ ，圆心角 $α (0 < α < π)$ ，则 $α = 1$ D、函数 $y = \log_{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2 x)$ 的单调增区间 $(- \infty, 1)$

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15、函数 $y = \frac{x a^{x}}{|x|} (a > 1)$ 图像的大致形状为（）

A、 B、 C、 D、

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P$ 为 $C$ 上一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为 $2 \sqrt{2} + 2$ ，其中 $O$ 为坐标原点．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = x + m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，
（i）求 $△ O A B$ 面积的最大值；
（ii）设 $\vec{O Q} = \vec{O A} + \vec{O B}$ ，试证明点 $Q$ 在定直线上，并求出定直线方程．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = - 3$ ，且 $a_{n + 2} = λ a_{n} + a_{n + 1}$ ，则 $a_{5} =$ .

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18、对于随机事件A，B，若 $P (A) = \frac{2}{5}$ ， $P (B) = \frac{3}{5}$ ， $P (B| A) = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $P (A B) = \frac{3}{20}$ B、 $P (A| B) = \frac{1}{6}$ C、 $P (A + B) = \frac{9}{10}$ D、 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{2}$

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19、在 $(x + 1) (x + 2) (x + m) (x + n)$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 的项的系数是7，则 $m + n =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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20、定义：已知数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .设 $λ$ 与 $k$ 是常数，若对一切正整数 $n$ ，均有 $S_{n + 1}^{\frac{1}{k}} - S_{n}^{\frac{1}{k}} = λ a_{n + 1}^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为“ $λ & k$ ”数列.若数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 是“ $\frac{\sqrt{3}}{3} & 2$ ”数列，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ （）

A、 $3 \times 4^{n - 2}$ B、 $\{\begin{matrix} 1 (n = 1) \\ 3 \times 4^{n - 2} (n \geq 2) \end{matrix}$ C、 $4 \times 3^{n - 2}$ D、 $\{\begin{matrix} 1 (n = 1) \\ 4 \times 3^{n - 2} (n \geq 2) \end{matrix}$

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