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相关试卷

1、若 ${(2 x - 1)}^{4} = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0},$ 则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} =$ （）

A、 $- 40$ B、 $40$ C、 $41$ D、 $82$

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2、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，满足 $a_{n} + 2 T_{n} = 1$ （ $n \in N^{*}$ ），则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\frac{1011}{1012}$ B、 $\frac{1011}{1013}$ C、 $\frac{4047}{4049}$ D、 $\frac{4048}{4049}$

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3、已知函数 $f (x)$ 的图象与直线 $4 x - y - 4 = 0$ 相切于点 $(2, f (2))$ ，则 $f (2) + f^{'} (2)$ （）

A、4 B、8 C、0 D、-8

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4、已知复数 $z$ 满足 $z {(1 + i)}^{2} = 2 + 2 \sqrt{3} i$ ，则 $|z - 2 i| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、12

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $P$ 为直线 $y = 2$ 上一动点，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为 $M (- \sqrt{2}, 0)$ ， $N (\sqrt{2}, 0)$ ，上、下顶点分别为 $T (0, 1)$ ， $S (0, - 1)$ ．若直线 $P T$ 交 $E$ 于另一点 $A$ ，直线 $P S$ 交 $E$ 于另一点 $B$ ．

(1)、求证：直线 $A B$ 过定点，并求出定点坐标；

(2)、求四边形 $A S B T$ 面积的最大值．

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6、已知 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 的展开式的各项系数之和为（）

A、 $2^{6}$ B、 $2^{8}$ C、 $3^{6}$ D、 $3^{8}$

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7、若 $1 + 2 i = (i - 2) (z - 1)$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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8、使式子 $\log_{(2 x - 1)} (2 - x)$ 有意义的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(\frac{1}{2}, 2 ）$ D、 $(\frac{1}{2}, 1) \cup (1, 2)$

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9、已知函数 $f (x) = x^{2} ln x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的图象在点 $(e, f (e))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(3)、证明：对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，有 $f (x) \geq x - 1$ ；

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10、已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 可以为（）

A、 $f (x) = \frac{3 x}{2^{|x|}}$ B、 $f (x) = \frac{x}{2^{x} - 2^{- x}}$ C、 $f (x) = \frac{x}{2^{x}}$ D、 $f (x) = x \cdot 2^{|x|}$

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11、在平面直角坐标系中，若点 $P (x_{0}, y_{0})$ 满足 $x_{0}, y_{0}$ 都是整数，则称点 $P$ 为格点.

(1)、指出椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上的所有格点；

(2)、设 $A, B$ 是抛物线 $y = x^{2}$ 上的两个不同的格点，且线段 $A B$ 的长度是正整数.求直线 $A B$ 的斜率的所有可能值；

(3)、设 $m (m \geq 3$ 且 $m \in N)$ 项的数列 $\{a_{n}\}$ 满足：点 $Q_{n} (a_{n}, a_{n + 1})$ 是函数 $y = \frac{b}{2} \sqrt{x^{2} - 4}$ 的图象上的格点 $(n = 1, 2, \dots, m - 1)$ .则是否存在正整数 $b$ ，使得数列 $\{a_{n}\}$ 为常数列；若存在，请求出正整数 $b$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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12、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，动点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 均在椭圆上， $O$ 是坐标原点，记 $O P$ 和 $O Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ； $△ O B P$ 与 $△ O A Q$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ .若 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，则 $S_{1} S_{2}$ 的最大值为.

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13、已知函数 $f (x) = ln \frac{2 x - 1}{x - 1} + a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、若 $0 < a \leq \frac{1}{3}$ ， $x \in [\frac{3}{2}, 2]$ ，证明： $f (x) < 2$ ；

(3)、若 $x > 1$ ，恒有 $f (x) \geq 2 ln 2 + \frac{3}{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、在 ${(1 - 2 x)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中， $x$ 的系数为 $- 10$ ，则 $n =$ .

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15、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，平面 $A B_{1} E$ 将长方体分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（）

A、 $\frac{7}{15}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $\frac{7}{17}$

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16、如图，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 水平放置的正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, A B = 2 A_{1} B_{1} = 4$ ，侧棱长为 $\sqrt{2}, P$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点.

(1)、求证： $A A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、是否存在点 $P$ ，使得平面 $A P C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{5 \sqrt{33}}{33}$ ？若存在，求出点 $P$ ；若不存在，请说明理由.

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17、设集合 $A_{i} = \{1, 2, 3, \dots, i\} (i \in N^{+})$ ，对于集合 $A_{i}$ 到集合 $A_{i}$ 的函数 $f : A_{i} \to A_{i}$ ，记其中满足 $f (f (x)) = x$ 的函数为“回函数”．对于任意给定的集合 $A_{i}$ ， “回函数”的个数记为 $a_{i}$ ．数列 $\{a_{n}\}$ 的第 $i$ 项为 $a_{i}$ ．例如 $A_{1} = \{1\}$ ， “回函数”仅有一个，即 $f (x) = 1$ ，满足 $f (f (1)) = f (1) = 1$ ，所以 $a_{1} = 1; A_{2} = \{1, 2\}$ ， “回函数”有两个，即 $f_{1} (x) = \{\begin{matrix} 1, x = 1 \\ 2, x = 2 \end{matrix}$ 和 $f_{2} (x) = \{\begin{matrix} 2, x = 1 \\ 1, x = 2 \end{matrix}$ ，这两个函数都能满足 $f (f (x)) = x$ ，所以 $a_{2} = 2$ ．

(1)、求 $a_{3}$ ；

(2)、当 $n \geq 2$ 时，给出 $a_{n + 1}, a_{n}$ 和 $a_{n - 1}$ 之间的关系式并证明；

(3)、证明： $n \geq 2$ 时， $a_{n} \geq 2 + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3}$ ．

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18、已知函数 $f (x) = x ln x - a$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) \geq k (x^{2} - 1) - a$ 恒成立，求实数 $k$ 的最小值；

(3)、证明： $x_{2} - x_{1} < \sqrt{1 + 2 a} - \frac{a^{2} e^{2}}{4}$ .

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19、四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2, P B ⊥ A D, ∠ P A B$ 为锐角．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}, P B = 2 \sqrt{6}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

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20、我们知道关于 $x, y$ 的二元一次方程表示直线，但有的二元二次方程也能表示直线，比如 $x^{2} - y^{2} = 0$ 表示的就是 $x + y = 0$ 和 $x - y = 0$ 两条直线．

(1)、求方程 $(x - y + 2) (2 x + y + 1) = 0$ 表示的直线与 $y$ 轴围成的面积；

(2)、若方程 $x^{2} - y^{2} + a x + 2 y - 1 = 0$ 表示的是两条直线，求 $a$ ．

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