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相关试卷

1、已知 $A = \{x ∣ |x| \leq 1\}, B = {x | x < 4, x \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $\{1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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2、对于 $m (m = 2, 3, \dots)$ 项数列 $\{a_{n}\}$ ，若满足 $\sum_{i = 1}^{m} |a_{i}| - |\sum_{i = 1}^{m} a_{i}| = m - 1$ ，则称它为一个满足“绝对值关联”的 $m$ 阶数列．

(1)、对于一个满足“绝对值关联”的 $m$ 阶数列 $\{a_{n}\}$ .证明：存在 $i, j \in {1, 2, \dots, m}$ ，满足 $a_{i} a_{j} < 0$ ；

(2)、若“绝对值关联”的 $m$ 阶数列 $\{a_{n}\}$ 还满足 $|a_{i}| \leq λ (i = 1, 2, \dots, m)$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“绝对值 $λ$ 关联”的 $m$ 阶数列．
①请分别写出一个满足“绝对值 $\frac{3}{4}$ 关联”的 $4$ 阶数列和满足“绝对值 $1$ 关联”的 $5$ 阶数列（不必论证，符合要求即可）；
②若存在“绝对值 $λ$ 关联”的 $n$ 阶数列 $(n \geq 2)$ ，求 $λ$ 的最小值（最终结果用常数或含 $n$ 的式子表示）．

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3、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + a x - a x \ln x$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $\frac{x_{2}}{x_{1}} \in (1, e)$ 时，证明： $2 < e \ln x_{1} + \ln x_{2} < e + 1$ .

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4、如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形ABCD是菱形，四面体 $A_{1} B C_{1} D$ 的体积与四面体 $A_{1} B_{1} B C_{1}$ 的体积之差为 $2, △ A_{1} B D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求点 $A$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离；

(2)、若 $A_{1} B = A_{1} D, A_{1} B ⊥ A_{1} C_{1}, B D = 2$ ，求锐二面角 $A_{1} - B D - C_{1}$ 的余弦值．

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5、记首项为1的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ .

(1)、探究数列 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是否为单调数列；

(2)、求数列 $\{a_{n} \cdot 2^{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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6、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x, x \in (0, π)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, m]$ 上的最小值为 $- 2$ ，求 $m$ 的取值范围.

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7、已知 $P$ 为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围是.

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8、设函数 $f (x) = e^{x} - n x + n^{2}, n \in N_{+}$ ，记 $f (x)$ 的最小值为 $a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{1} > a_{2} - 2$ B、 $a_{n} \geq n + 1$ C、 $f (a_{n}) > f (n)$ D、 $a_{n + m} > a_{n} + a_{m}$

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9、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，设AB的中点为 $E, A A_{1}$ 的中点为 $F, A_{1} E$ 与BF交于点 $G, A_{1} C$ 与 $C_{1} F$ 交于点 $H$ ，则（）

A、直线GH与直线 $B B_{1}$ 异面 B、 $G H / / B C_{1}$ C、线段AE上存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} P C$ D、线段BE上存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} P C$

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10、 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b \cos C + c \cos B = 2, A = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆半径的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1$

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11、已知函数 $f (x) = \ln \frac{x + 1}{x + m} + 2 x (m \neq 1)$ 关于点 $(n, 4)$ 中心对称，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(n - m$ ， $f (n - m))$ 处的切线斜率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{13}{8}$

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12、经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子 $A$ ， $B$ ，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为 $\vec{s_{A}} = (4, 3), \vec{s_{B}} = (2, 10)$ ，设光子 $B$ 相对光子 $A$ 的位移为 $\vec{s}$ ，则 $\vec{s}$ 在 $\vec{s_{A}}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(- 2, 7)$ C、 $(\frac{52}{25}, \frac{39}{25})$ D、 $(\frac{4}{25}, \frac{3}{25})$

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13、已知 $\sin (θ + 10^{°}) = - \frac{1}{4}$ ，则 $\sin (2 θ + 110^{°}) =$ （）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{1}{8}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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14、“ $2025^{a} > 2025^{b} \geq 1$ ”是“ $a^{3} > b^{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知 $z = \frac{3 - i}{1 + 2 i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $- \frac{7}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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16、设集合 $A = {x ∣ - 4 \leq x \leq 0}, B = {x ∣ - 3 \leq x \leq 1}$ ，则集合 $A \cap B$ 中所含整数的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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17、已知 $x \in [0, \frac{π}{4}], sin x + cos x = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $tan (x - \frac{3 π}{4}) =$ ．

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18、销售甲、乙两种商品所得利润分别是 $y_{1}, y_{2}$ 万元，它们与投入资金 $x$ 万元的关系分别为 $y_{1} = m \sqrt{x + 1} + a$ ， $y_{2} = b x$ （其中 $m, a, b$ 都为常数），函数 $y_{1}, y_{2}$ 对应的曲线 $C_{1}, C_{2}$ 如图所示．

(1)、求函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的解析式；

(2)、若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．

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19、如图所示，在四棱锥 $D - A B C E$ 中，底面 $A B C E$ 为梯形，且满足 $A B // C E$ ， $∠ B C E = 90^{\circ}$ ， $A B = 2 B C$ $= 2 C E = 2 D E = 2 A D$ ，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ .
（1）求证： $A D ⊥ B E$ ；
（2）求直线 $A C$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值.

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20、已知函数 $f (x) = e^{x} [x^{2} + (2 a - 5) x - 8 a + 5] (a \in R)$ ．
（1）当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；
（2）当 $x \in [0, 2]$ 时，若不等式 $f (x) \geq 2 e^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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