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相关试卷

1、如图，从一个半径为 $2 \sqrt{3}$ 的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $\frac{27 π}{2}$ C、 $27 π$ D、 $\frac{27 \sqrt{6} π}{8}$

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2、已知线段 $A B$ 的长度为4，动点 $M$ 与点 $A$ 的距离是它与点 $B$ 的距离的 $\sqrt{2}$ 倍，则 $△ M A B$ 面积的最大值为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、8 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $\frac{16}{3}$

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3、关于 $x, y$ 的方程 $x^{n} + y^{n} = 1 (n \in Z)$ 对应的曲线不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4、已知 $α, β$ 为锐角，若 $tan α = \frac{3}{4}, cos (α + β) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $sin β =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$

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5、甲、乙两位学生的5次化学考试成绩如下表：
学生
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
87
91
90
89
99
乙
89
90
91
88
92
下列结论正确的是（）

A、甲的极差小于乙的极差 B、乙的平均数大于甲的平均数 C、乙的成绩比甲的成绩更稳定 D、甲的中位数小于乙的中位数

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6、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = 5, a_{7} = 8$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、13 B、45 C、65 D、130

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7、若复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、4

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8、已知集合 $A = \{x | x - 2 \leq 0\}, B = \{- 2, - 1, 1, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 1, 3\}$ B、 $\{- 2, - 1, 1\}$ C、 $\{- 1, 1, 3\}$ D、 $\{- 1, 1\}$

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9、命题“ $\exists x > 1$ ， $x^{2} - a x + 2 < 0$ ”的否定是．

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10、已知A，B分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右顶点，点 $P (2 \sqrt{2}, n)$ 是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = | A B | = 4$ .

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、已知过点 $(4, 0)$ 的直线 $l : x = m y + 4$ ，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线 $A D$ 与直线 $B E$ 交于点Q，求证：点Q在定直线上.

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11、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 焦距为2，离心率e是 $\frac{1}{2}$

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $F (1, 0)$ 作两条互相垂直的弦 $A B, C D$ ，其中 $B, D$ 在 $x$ 轴的上方，且 $B$ 在 $D$ 的右侧，设弦 $A B, C D$ 的中点分别为 $M, N$ .
①若弦 $A B, C D$ 的斜率均存在，求四边形 $A C B D$ 面积的最小值；
②判断直线 $M N$ 是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由.

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12、已知两直线 $l_{1} : x + y + 2 = 0$ 和 $l_{2} : 3 x - 2 y + 1 = 0$ 的交点为 $P$ ．

(1)、直线 $l$ 过点 $P$ 且与直线 $x + 3 y + 1 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的一般式方程；

(2)、圆 $C$ 过点 $(1, 0)$ 且与 $l_{1}$ 相切于点 $P$ ，求圆 $C$ 的一般方程．

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13、阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点 $P$ 到两个定点的距离之比为常数 $λ$ （ $λ > 0$ ，且 $λ \neq 1$ ），那么点 $P$ 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点 $P$ 到 $A (2, 0)$ ， $B (- 2, 0)$ 的距离比为 $\sqrt{3}$ ，则点 $P$ 到直线 $l$ ： $2 \sqrt{2} x - y - \sqrt{2} = 0$ 的距离的最大值是.

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14、已知点 $P (6, y_{0})$ 在焦点为 $F$ 的抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，若 $|P F| = \frac{15}{2}$ ，则 $p =$ .

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15、已知向量 $\vec{a} = (2, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, - 1, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) / / (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ .

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16、3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为 $\sqrt{10}$ 的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为 $6 \sqrt{2} cm$ ，下底直径为 $9 \sqrt{2} cm$ ，喉部（中间最细处）的直径为 $8 cm$ ，则该塔筒的高为（）

A、 $\frac{27}{2} cm$ B、 $18 cm$ C、 $\frac{27 \sqrt{2}}{2} cm$ D、 $18 \sqrt{2} cm$

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17、设椭圆 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点相同，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则此椭圆的方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{12} = 1$ B、 $y^{2} + \frac{x^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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18、已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y + 4 = 0$ 相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（）

A、 $3 x - 3 y - 4 = 0$ B、 $3 x - 3 y + 4 = 0$ C、 $x + y - 3 = 0$ D、 $x + y + 3 = 0$

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19、若向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 1, - 3)$ ，则 $|2 \vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3$ D、 $3 \sqrt{2}$

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20、如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = B C = 2$ ， $P C = A B = 4$ ， $E$ 为棱 $A B$ 的中点， $F$ 为棱 $P C$ 上的点.

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若二面角 $P - A F - E$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求点 $P$ 到平面 $A E F$ 的距离.

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学生	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
甲	87	91	90	89	99
乙	89	90	91	88	92