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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{4} + a_{8} = 6, S_{17} = \frac{153}{2}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

(2)、设数列 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．
①求 $T_{n}$ ；
②是否存在实数 $t$ ，使得数列 $\{t T_{n} + \frac{n^{2} + 1}{n + 1}\}$ 为等差数列？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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2、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x + 2, a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq e^{x}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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3、某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度 $y$ （单位： $^{\circ} C$ ）随冷却速率 $x$ （单位： $^{\circ} C / min$ ）变化的统计数据．
$x$
10
20
30
40
50
$y$
650
640
600
590
580

(1)、一般认为当 $|r| \geq 0.9$ 时，经验回归方程的拟合效果非常好；当 $0.75 \leq |r| < 0.9$ 时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．

(2)、请利用所给数据求该金属凝固点温度 $y$ 与冷却速率 $x$ 之间的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测冷却速率为 $80^{\circ} C / min$ 时，该金属的凝固点温度．
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot {\bar{x}}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n \cdot {\bar{y}}^{2})}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = - 1900, \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 3880$ ．

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4、已知直线 $a x + b y + a = 0$ 与曲线 $y = e^{x}$ 相切，则 $\frac{a}{b} =$ ．

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5、如图所示，在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C, S A = S C = A B = B C = 2 \sqrt{2}, A C = 4$ ，若 $E$ 为线段 $A B$ 上一动点，则 $S E + C E$ 的最小值为．

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6、若随机变量 $X \sim N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X < a) = P (X > b)$ ，则 $a + b =$ ．

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P (x, y)$ 到定点 $(1, 1)$ 与 $x$ 轴的距离之积为常数 $\frac{1}{a}$ ，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，曲线 $C$ 的图象如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $a = 4$ B、曲线 $C$ 的方程为 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \begin{array}{r} - \frac{1}{4 y^{2}} = 0 \end{array}$ C、曲线 $C$ 关于直线 $x = 1$ 对称 D、曲线 $C$ 上的点到 $x$ 轴的距离的最大值为 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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8、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x + 2) = 6$ ，且 $\forall t \neq 0, t f (x + t) - t f (x) < 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x + 1) - 3$ 为偶函数 B、函数 $f (x)$ 为减函数 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 3)$ 中心对称 D、 $f (3 x - 2) - 3 > 0$ 的解集为 $(1, + \infty)$

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9、若复数 $z = \frac{2 + 4 i}{1 + i}$ ，则（）

A、 $z = 3 + i$ B、 $z - 3$ 为纯虚数 C、复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 D、 $|z - 2| = 2$

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10、若 $P (A) = \frac{4}{5}, P (B ∣ \bar{A}) = \frac{2}{3}, P (B ∣ A) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (A ∣ B) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{7}{11}$ C、 $\frac{9}{11}$ D、 $\frac{11}{15}$

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11、若 $a = {log}_{5} 3, b = {log}_{50} 18, c = lg 6$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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12、定义：二阶行列式 $|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}| = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ ，三阶行列式 $E = |\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}|$ ， $E$ 的某一元素 $a_{i j}$ 的余子式 $M_{i j}$ 指的是在 $E$ 中划去 $a_{i j}$ 所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式，称 ${(- 1)}^{i + j} M_{i j}$ 为元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，三阶行列式 $E$ 等于它的任一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和． $|\begin{array}{l} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}| =$ （）

A、0 B、 $- 24$ C、6 D、 $- 18$

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13、已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（）

A、 $\frac{16 π}{9}$ B、 $\frac{64 π}{9}$ C、 $\frac{32 π}{9}$ D、 $\frac{16 π}{3}$

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14、函数 $f (x) = {cos}^{2} 4 x - 3 {sin}^{2} 4 x$ 的最小值和最小正周期分别为（）

A、 $- 3, \frac{π}{8}$ B、 $- 1, \frac{π}{4}$ C、 $- 3, \frac{π}{4}$ D、 $- 1, \frac{π}{8}$

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15、若抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点也是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm 3 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{3} x$

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16、若向量 $\vec{a} = (m, 5), \vec{b} = (1, 2)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$ ，则实数 $m =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、18 D、 $- 18$

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17、若集合 $A = {x ∣ x < 0}, B = \{x ∣ x > 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $[0, 1]$ C、 $(- \infty, 0]\cup[1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

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18、1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数 $n = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2^{1} + a_{2} \cdot 2^{2} + \dots + a_{k} \cdot 2^{k}$ ， $k \in N$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\}$ ， $i = 0, 1, 2, \dots, k$ ，那么，十进制数 $n$ 可以用二进制表示为 $a_{k} \dots a_{2} a_{1} a_{0}$ ，记作 ${(n)}_{10} = {(a_{k} \dots a_{2} a_{1} a_{0})}_{2}$ ，此时，令 $S_{n} = a_{k} + \dots + a_{2} + a_{1} + a_{0}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \{\begin{array}{l} 0, S_{n} = 2 m \\ 1, S_{n} = 2 m + 1 \end{array}, m \in N$ ．

(1)、二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如震卦“”对应的二进制数为100．请写出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数．

(2)、证明： $S_{n} - S_{2 n + 1} + S_{2^{n} - 1} = n - 1$ ， $n \in N^{*}$ ．

(3)、是否存在正偶数 $p$ ，使得对任意 $i \in \{0, 1, 2, \dots, 2014\}$ ，满足 $b_{p + i} = b_{p + 2025 + i} = b_{p + 4050 + i}$ ．若存在，请写出符合要求的 $p$ ；若不存在，请说明理由．

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且经过点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、记圆 $O$ 的方程是 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ ．
①若与圆 $O$ 相切的直线 $l_{1}$ 经过 $C$ 的右焦点 $F$ ，且 $l_{1}$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|A B|$ ；
②斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ 的直线 $l_{2}$ 经过坐标原点，与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $P$ 是 $C$ 的上顶点，直线 $P M$ 交圆 $O$ 于点 $G$ ，直线 $P N$ 交圆 $O$ 于点 $H$ ，记直线 $G H$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求值： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ ．

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20、已知函数 $f (x) = x {(x - a)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极大值，且函数 $g (x) = f (x) + b ln \frac{x}{4 - x}$ 在定义域内单调递增．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $b$ 的取值范围．

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$x$	10	20	30	40	50
$y$	650	640	600	590	580