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相关试卷

1、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F在直线 $l : y = x - 1$ 上．

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $P (0, - 1)$ 的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且 $\frac{|P M|}{|P N|} = \frac{|Q M|}{|Q N|}$ ，证明：点Q在定直线上．

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2、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形，且 $P A = A B$ ， $P A ⊥$ 底面ABCD，点E满足 $2 \vec{P E} = \vec{P C}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面PAC；

(2)、求平面ABE与平面BDE的夹角的大小．

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3、2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，某市经过初次选拔后有小明，小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明成功解出这道题的概率是 $\frac{3}{4}$ ，小明，小红两名同学都解答错误的概率是 $\frac{1}{12}$ ，小王、小红两名同学都成功解出的概率是 $\frac{1}{4}$ ，这三名同学解答是否正确相互独立.

(1)、分别求出小王，小红两名同学成功解出这道题的概率；

(2)、求三人中至少有两人成功解出这道题的概率．

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4、已知函数 $f (x) = (x + 1) \ln x$ ，记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

(1)、求曲线 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f^{'} (x)$ 的最值．

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5、某高校的化学实验室内的电子微型质量测量仪的底座形似一个正四棱台，记该正四棱台为 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，经测量其体积为 $\frac{28 \sqrt{3}}{3}$ ，上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，下底面 $A B C D$ 的边长分别为2，4，记 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A_{1} C_{1}$ ， $B_{1} D_{1}$ ，交于点 $O_{1}$ ，则 $O A_{1} =$ ，若四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的各个顶点均在球 $O_{2}$ 的表面上，则球 $O_{2}$ 的表面积为.

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6、若双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是C右支上的动点，则 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最小值为．

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7、在某次考弍中，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为 $11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 18$ ，则该组数据的上四分位数为.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3 \sin^{2} x - 1, \sin x \geq 0, \\ \sin^{2} x - 1, \sin x < 0, \end{array}$ $x \in (0, 2 π)$ ，若方程 $f (x) = a \pm 1$ 有6个根，则 $a$ 的值可能为（）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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9、已知 $(1 - 2 i) z = 1 + 3 i$ ，则（）

A、 $z = - 1 + i$ B、 $|z| = \sqrt{3}$ C、 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点位于第三象限 D、 $z + 3 \bar{z} = - 4 - 2 i$

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10、已知直线l与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 36$ 交于M，N两点，若以MN为直径的圆过点 $P (0, 8)$ ，则 $|M N|$ 的最大值为（）

A、 $4 + 2 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $8 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 + \sqrt{2}$

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11、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $2 b^{2} + c^{2} - a^{2} = 0$ ，则 $\sin B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = 27 a_{2}$ ， $S_{4} = 80$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则该椭圆的半焦距为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、3或 $\sqrt{3}$ D、3或 $\frac{3}{2}$

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14、已知向量 $\vec{a} = (2, x^{2})$ ， $\vec{b} = (1, \frac{1}{x})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ （）

A、 $(3, 4)$ B、 $(4, 3)$ C、 $(0, 5)$ D、 $(0, 3)$

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15、已知随机变量 $X ~ B (3, p)$ ， $0 < p < 1$ ，且 $E (X) = 3 D (X)$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、已知集合 $M = \{x | x > - \frac{1}{2}\}$ ， $N = \{x | x \in Z, - 4 < x \leq 3\}$ ，则 $M \cap N$ 中元素的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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17、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n} + S_{n} = 2$ ，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 C、 $\{S_{n} - 2\}$ 是等比数列 D、 $a_{n} S_{n}$ 的最大值是1

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18、已知集合 $M = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $N = \{x |2 x - 1 > 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{1 - sin B}{cos B} = \frac{1 - cos 2 A}{sin 2 A}$ ，则 $\frac{b^{2}}{a^{2} + 2 c^{2}}$ 的取值范围是．

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20、已知 $a = {(\frac{3}{5})}^{\frac{1}{3}}$ ， $b = {(\frac{3}{5})}^{- \frac{1}{3}}$ ， $c = \log_{\frac{3}{5}} 3$ ，则a、b、c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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