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相关试卷

1、现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）

A、10种 B、12种 C、20种 D、36种

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2、设函数 $f (x) = \frac{sin 5 x}{sin x \cdot cos x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象有对称轴 B、 $f (x)$ 是周期函数 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2}, 0)$ 中心对称

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3、如图，已知四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C ⊥ C D$ .

(1)、求证： $A C ⊥ C D$ ；

(2)、若在此四面体中任取两条棱作为一组（ $(a, b)$ 和 $(b, a)$ 视为同一组），则它们互相垂直的组数记为 $a_{1}$ ；任取两个面作为一组（ $(α, β)$ 和 $(β, α)$ 视为同一组），则它们互相垂直的组数记为 $a_{2}$ ；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（ $(a, α)$ 和 $(α, a)$ 视为同一组），则它们互相垂直的组数记为 $a_{3}$ ，试求 $a_{1} + a_{2} + a_{3}$ 的值；

(3)、《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中， $C D = 1$ ， $A B = B C = 1$ ，有一根彩带经过平面 $A B C$ 与平面 $A C D$ ，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度.

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4、甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为 $\frac{1}{3}$ ，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为．

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5、已知 $f (x)$ 是二次函数，且满足 $f (0) = 1$ ， $f (x + 1) - f (x) = 4 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、直接写出 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 1, t]$ 上的最大值和最小值.

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6、已知 $f (x) = \ln (x + 1)$

(1)、设 $h (x) = x f (x - 1)$ ，求 $h (x)$ 的极值．

(2)、若 $f (x) \leq a x$ 在 $[0, + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围．

(3)、若存在常数 $M$ ，使得对任意 $x \in I$ ， $f (x) \leq M$ 恒成立，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上有上界 $M$ ，函数 $f (x)$ 称为有上界函数．如 $y = e^{x}$ 是在 $R$ 上没有上界的函数， $y = \ln x$ 是在 $(0, + \infty)$ 上没有上界的函数； $y = - e^{x}, y = - x^{2}$ 都是在 $R$ 上有上界的函数．若 $g (n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} (n \in N^{*})$ ，则 $g (n)$ 是否在 $N^{*}$ 上有上界?若有，求出上界；若没有，给出证明．

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7、已知 $△ A B C$ 的角A，B，C对的边分别为a，b，c， $2 b \cos A = 2 c - \sqrt{3} a$

(1)、求B；

(2)、若 $\cos A ＝ \sin C － 1$ ， $\vec{C A} = 4 \vec{C D}, B D = \sqrt{37}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D$ ⊥平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P D$ ， $A B = 2$ ， $A D = 8$ ， $A C = C D = 5$ ，

(1)、求证：平面 $P C D$ ⊥平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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9、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点 $D (- 1, 0)$ 的直线l在第一象限与C交于A，B两点，且 $B F$ 为 $∠ A F D$ 的平分线，则直线l的方程为．

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10、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (2, 1), \vec{a} - \vec{b} = (- 2, 4)$ ，则 $|\vec{a}| - |\vec{b}| =$ ．

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11、已知棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，球O是该正方体的内切球，E，F，P分别是棱 $A A_{1}$ ， $B C$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，M是正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 的中心，则（）

A、球O与该正方体的表面积之比为 $\frac{π}{6}$ B、直线 $E F$ 与 $O M$ 所成的角的正切值为 $\sqrt{2}$ C、直线 $E P$ 被球O截得的线段的长度为 $2 \sqrt{2}$ D、球O的球面与平面 $A P M$ 的交线长为 $4 π$

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12、已知 $2024^{m} = 2025$ ， $2023^{m} = x + 2024$ ， $2025^{m} = y + 2026$ ，则（）

A、 $0 < x < y$ B、 $x < y < 0$ C、 $y < x < 0$ D、 $x < 0 < y$

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13、已知函数 $f (x) = {(x - 4)}^{3} \cos ω x (ω > 0)$ ，存在常数 $a \in R$ ，使 $f (x + a)$ 为偶函数，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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14、已知圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 1$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{13}$ C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

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15、已知函数 $F (x) = \{\begin{array}{l} - \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} - a - 4 (x \geq 0) \\ a x - \sin x (x < 0) \end{array}$ 在R上单调，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $[- 4, - 1)$ D、 $[- 4, - 1]$

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{4} a_{5} a_{6} = 64$ ，则 $a_{2} a_{4} + a_{6} a_{8}$ 的最小值为（）

A、48 B、32 C、24 D、8

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17、甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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18、若复数z满足 $\bar{z} = \frac{2 - i}{3 + i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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19、函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3, x \in [0, 2]$ 的最小值为（）

A、 $- 1$ B、2 C、3 D、4

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20、某景区新开通了 $A ， B ， C 3$ 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 $A$ 项目，则不同的体验方法共有（）

A、12 种 B、18 种 C、24 种 D、30 种

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