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1、对于区间 $[a, b] (a < b)$ ，若函数 $y = f (x)$ 同时满足：①在 $[a, b]$ 上是单调函数，②函数 $y = f (x)$ 在 $[a, b]$ 的值域是 $[a, b]$ ，则称区间 $[a, b]$ 为函数的“保值”区间.

(1)、求函数 $f (x) = x^{2}$ 的所有“保值”区间；

(2)、判断函数 $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ 是否存在“保值”区间，并说明理由；

(3)、已知函数 $h (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \in R, a \neq 0)$ 有“保值”区间 $[m, n]$ ，当 $n - m$ 取得最大值时求 $a$ 的值.

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2、已知函数 $f (x) = x + \frac{k}{x}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、当 $k < 0$ 时，函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增 C、当 $k > 0$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $2 \sqrt{k}$ D、若对 $\forall x \in [1, + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq 1$ ，则 $k \geq 0$

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3、定义：对于定义在 $D_{1}$ 上的函数 $y = f (x)$ 和定义在 $D_{2}$ 上的函数 $y = g (x)$ 满足：存在 $x_{0} \in D_{1} \cap D_{2}$ ，使得 $f (x_{0}) g (x_{0}) \geq 0$ ，我们称函数 $h (x) = \sqrt{f (x) g (x)}$ 为函数 $f (x)$ 和函数 $g (x)$ 的“均值函数”.

(1)、若 $f (x) = 2 x + 3, g (x) = a - x$ ，函数 $f (x)$ 和函数 $g (x)$ 的均值函数是偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{k x^{2} - 3 k x + 4}}$ ， $g (x) = - x^{2} + 3 x - 2$ ，且存在函数 $f (x)$ 和函数 $g (x)$ 的“均值函数”，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} - 1}$ ， $x \in (0, 1)$ ， $g (x)$ 是 $f (x)$ 和 $f (1 - x)$ 的“均值函数”，求 $g (x)$ 的值域.

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4、已知奇函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 1}{3^{x} + 1}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并加以证明；

(2)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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5、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 2}{x + 1} < 0\}$ ， $B = \{x |k < x < 2 - k\}$ ．
（1）当 $k = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ；
（2）若 $A \cap B = B$ ，求实数 $k$ 的取值范围．

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6、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = f (x) + f (- x), f (x + 2) = - f (x)$ ，且 $f (x)$ 在 $[- 1, 0]$ 上是增函数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (2) = f (0)$ B、 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上是减函数 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 2, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称

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7、已知 $x > 0$ ，则（）

A、 $x (2 - x)$ 的最大值为1 B、 $3 - x - \frac{1}{x}$ 的最大值为1 C、 $\frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 D、 $x + \frac{4}{x + 1}$ 的最小值为3

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8、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ 是同一个函数 C、命题 $p : \forall x \in R, x^{2} > 0$ ，则 $\neg p : \exists x \in R, x^{2} \leq 0$ D、若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (a^{2} - 1) x + a - 2 = 0$ 的一个根比1大且另一个根比1小，则 $a$ 的取值范围是 $(- 2, 1)$

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9、已知函数 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{2}, \frac{3}{8}]$ ，则函数 $g (x) = f (x) + \sqrt{1 - 2 f (x)}$ 的值域为（）

A、 $[\frac{1}{2}, \frac{7}{8}]$ B、 $[\frac{1}{2}, 1]$ C、 $[\frac{7}{8}, 1]$ D、 $(0, \frac{1}{2}) \cup [\frac{7}{8}, + \infty)$

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, x \leq 0 \\ a x^{2} + b x, x > 0 \end{array}$ 为奇函数，则 $2 a + 3 b$ 等于（）

A、-1 B、1 C、5 D、-5

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11、若 $2 a + b = 1 (a > 0, b > 0)$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $3 - 2 \sqrt{2}$ B、8 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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12、已知幂函数y＝(a²－2a－2)x^a在实数集R上单调，那么实数a等于（）

A、－1或3 B、3 C、－3 D、1

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13、下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）

A、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ B、 $y = - x^{2} + 3$ C、 $y = - x^{3}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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14、已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {2, 3, 5}, B = {2, 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${1, 2, 4}$ B、 ${1, 2, 3, 4}$ C、 ${1}$ D、 ${4}$

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15、如图所示，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $O$ 为 $C D$ 的中点，设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{B D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A O} =$ （）

A、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}$

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16、已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ 为定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、记 $g (x) = 2 \cdot 2^{x} - f (x)$ ，若 $\exists x_{0} \in (\frac{1}{2}, 1)$ ，使得 $m \cdot g (2 x) + 2 f (x) - 2 m - 1 = 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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17、已知某工厂在生产和销售某种产品的过程中，年利润y（单位：百万元）是关于投资成本 $x$ （单位：百万元）的函数.下表是该工厂最近几年来的年利润与年投资成本的一组数据：
年份
2021
2022
2023
2024
…
投资成本 $x$
1
2
3
4
…
年利润 $y$
1
2
$\frac{7}{2}$
$\frac{23}{4}$
…
给出以下三个函数模型：① $y = k x + b$ ；② $y = k a^{x} + b (a > 0, a \neq 1)$ ；③ $y = \log_{a} (x + b) (a > 0, a \neq 1)$ .

(1)、从以上三种函数模型中选出最符合上述数据的函数模型，并求出该解析式；

(2)、若今年的投资成本为5百万元，预计今年的年利润为多少百万元？

(3)、若想要年利润达到15百万元及以上，则投资成本至少需要多少百万元（精确到0.01）.
（参考数据： $\lg 2 = 0.301, \lg 3 = 0.477$ ）

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18、某学校高一（10）班共有50名学生，在某次期中测试中，老师将这50名学生的历史科成绩（单位：分）按 $[60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 分成4组，并绘制成下面的频率分布直方图．

(1)、求图中 $m$ 的值，并利用各组的中间值估计这50名学生历史科成绩的平均数；

(2)、若采用分层抽样的方法分别从成绩在[70，80），[90，100]的学生中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人来了解他们的学习状况，求抽取的2人成绩不在同一组的概率．

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19、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < \frac{1}{2}\}$ ，集合 $B = \{x |2 a - 1 < x < a + 1\}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、（1）计算： $\ln \sqrt{e} + \lg 10 + 2^{1 + \log_{2} 3} + {(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}}$ ；
（2）已知正实数 $x$ 满足 $x - x^{- 1} = 3$ ，求 $x + x^{- 1}$ 的值：

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年份	2021	2022	2023	2024	…
投资成本 $x$	1	2	3	4	…
年利润 $y$	1	2	$\frac{7}{2}$	$\frac{23}{4}$	…