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相关试卷

1、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中 $A (a, 0), B (0, b), a > 0, b > 0$ .

(1)、若圆 $M$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴及线段 $A B$ 都相切，用 $a, b$ 表示圆 $M$ 的半径 $r$ ；

(2)、若 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，求 $a + b + \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的最小值；

(3)、判断以下两个命题的真假并说明理由.
命题1：若两个直角三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个直角三角形相似；
命题2：若两个三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个三角形相似.

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2、已知两个等比数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 满足： $b_{1} - a_{1} = 1$ ， $b_{2} - a_{2} = 2$ ， $b_{3} - a_{3} = 3$ .

(1)、若 $a_{1} = \frac{1}{15}$ ，求 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，判断 ${a_{n}}$ 中是否存在三项成等差数列，并说明理由；

(3)、若满足条件的数列 ${a_{n}}$ 有且只有一个，求实数 $a_{1}$ 的值.

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3、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (m > 0)$ ．

(1)、若 $m = 2$ ，求椭圆 $Γ$ 的离心率；

(2)、过椭圆 $Γ$ 上一点 $P$ 作斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线 $l$ ，若直线 $l$ 与双曲线 $\frac{y^{2}}{5 m^{2}} - \frac{x^{2}}{5} = 1$ 有且仅有一个公共点，求实数 $m$ 的取值范围．

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4、如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $E F = 1$ ， $F B = F C, ∠ B F C = 90 °$ ， $A E = \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $E F / / A B$ ；

(2)、求证： $A B ⊥$ 平面 $B C F$ ；

(3)、求直线 $A E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正切值.

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5、已知三角形 $A B C$ ， $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 1$ ，三角形的面积 $S = \frac{1}{2}$ .

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、若 $\sin A \cos A = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $B C = 2$ ，求 $A B$ 的值．

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6、正方形ABCD的边AB在直线 $y = x + 4$ 上，C、D两点在抛物线 $y^{2} = x$ 上，则正方形ABCD的面积为．

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7、已知指数函数 $y = {(\log_{\frac{1}{2}} a)}^{x}$ 在定义域内为减函数，则实数 $a$ 的取值范围.

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8、三棱锥 $P - A B C$ 的各顶点均在半径为2的球O表面上， $A P = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = A C = B C = 2$ ，则（）

A、有且仅有2个点P满足 $A P ⊥ B C$ B、有且仅有2个点P满足 $A P$ 与 $B C$ 所成角为 $60 °$ C、 ${|P B|}^{2}$ 的最大值为 $8 + 4 \sqrt{3}$ D、 ${|P B|}^{2} + {|P C|}^{2}$ 的最大值为 $16 + 8 \sqrt{3}$

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9、已知 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $\sqrt{3}$ 且经过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线C交于点 $A, B$ 两点（点 $A$ 在第一象限），与抛物线的准线交于点 $D$ ，若 $| A F | = 4$ ，则（）

A、 $p = 2$ B、F为线段 $A D$ 的中点 C、 $| B D | = 2 | B F |$ D、 $| B F | = 2$

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10、有一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{7}$ 依次构成首项为正数，公比大于 $1$ 的等比数列，则（）

A、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{7}$ 是一个递增数列 B、去掉数据 $x_{4}$ ，中位数不变 C、中位数小于平均数 D、若 $x_{1}$ 变为原来的 $2$ 倍，公比不变，则极差变为原来的 $2$ 倍

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11、已知 $a, b, c$ 成等差数列，过点 $P (- 1, 0)$ 作直线 $l : a x + b y + c = 0$ 的垂线，垂足为 $H$ ，则点 $Q (2, 1)$ 到点 $H$ 的距离的最大值为（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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12、已知圆锥的侧面积是底面积的 $\sqrt{2}$ 倍，则母线与底面所成的角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $75^{\circ}$

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13、已知 $\cos (α + β) = \frac{1}{4}$ ， $\tan α \tan β = 2$ ，则 $\cos (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，给定的四点 $P_{1} (4, - 3)$ ， $P_{2} (3, 4)$ ， $P_{3} (- 4, 3)$ ， $P_{4} (- 2, 0)$ 中恰有三个点在双曲线 $C$ 上，则该双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{3}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{2}{3} x$

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15、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\vec{b} = (0, - 1)$ ， $\vec{c} = (k, \sqrt{3})$ ，若 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，则 $k =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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16、若复数 $z$ 满足 $\frac{1 - z}{1 + z} = i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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17、已知集合 $A = \{x | 2 \leq x < 4\}$ ， $B = \{x| x > 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | x \geq 2\}$ B、 $\{x | x > 3\}$ C、 $\{x| 2 \leq x < 3\}$ D、 $\{x | 3 < x < 4\}$

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18、如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, A C = A A_{1}$ ， E，F分别是棱 $B C, A_{1} C_{1}$ 上的点．记 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $α$ ， $E F$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $β$ ，二面角 $F - B C - A$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A、 $α \leq β \leq γ$ B、 $β \leq α \leq γ$ C、 $β \leq γ \leq α$ D、 $α \leq γ \leq β$

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19、已知函数 $f (x) = cos 3 x - cos 2 x$ ， $x \in (0, π)$ ，若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $\frac{π}{5} \in {x_{1}, x_{2}}$ B、 $x_{2} = 3 x_{1}$ C、 $\cos x_{1} + \cos x_{2} = \frac{1}{2}$ D、 $\cos x_{1} \cos x_{2} = - \frac{1}{4}$

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20、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A D$ 的中点， $G$ 、 $H$ 分别在 $B C$ 、 $C D$ 上，且 $B G : G C = D H : H C = 1 : 2$ ．

(1)、求证： $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 四点共面；

(2)、设 $E G$ 与 $H F$ 交于点 $P$ ，求证： $P$ 、 $A$ 、 $C$ 三点共线．

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