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相关试卷

1、若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则 $\frac{r}{l} =$ （）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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2、已知函数 $y = a^{x - 1} + 1 (a > 0, a \neq 1)$ 图象恒过定点 $A$ ，且点 $A$ 在函数 $y = m x + n (m, n > 0)$ 图象上，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、4 B、1 C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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3、给出以下基本事实：函数 $φ (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是 $y = φ (x + a) - b$ 为奇函数.已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其图象关于点 $(1, 1)$ 对称，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = x^{2} - a x + a$ ，函数 $g (x) = x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3$ ，其中 $x \in R$ .

(1)、根据基本事实，求 $f (- 3) + f (5)$ 的值；

(2)、根据基本事实，探求 $g (x)$ 的图象的对称中心横坐标m的值；

(3)、若对任意 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、设函数 $f (x) = a^{x} + k a^{- x}$ （ $k \in R$ ， $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）.

(1)、当 $k = 4$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由；

(3)、当 $k = 0$ 时， $\forall x \in (- \infty, \frac{1}{2})$ 都有 $f (x) \leq \frac{1}{1 - 2 x}$ ，求实数a的取值集合.

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5、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是平行四边形，点E满足 $\vec{P E} = \frac{1}{3} \vec{P D}$ ．设三棱锥 $P - A C E$ 和四棱锥 $P - A B C D$ 的体积分别为 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值为．

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6、函数 $f (x) = x^{2} + \ln x$ 的图象在点 $(1, 1)$ 处的切线的斜率为．

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7、某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若 $X ~ N (600, σ^{2})$ ，其中 $σ > 0$ ，则（）

A、 $P (X < 600) = \frac{1}{2}$ B、 $P (592 < X < 598) < P (602 < X < 606)$ C、 $P (X < 595) = P (X > 605)$ D、σ越小， $P (X < 598)$ 越大

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8、函数 $y = - x^{2} - 4 x + 1, x \in [- 3, 1]$ 的值域为（）

A、 $[- 4, 4]$ B、 $[5, + \infty)$ C、 $[- 4, 5]$ D、 $(- \infty, 5]$

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9、已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{3^{x} + 1}{3^{x} - 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域及值域；

(2)、若 $\forall x \in (0, 1), f (x) > 3^{x} + a$ ，求 $a$ 的取值范围.

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10、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在区间 $[a, b]⊆ D$ ，使得 ${y ∣ y = f (x), x ∈[a, b]}=[a, b]$ ，则称区间 $[a, b]$ 为函数 $y = f (x)$ 的“和谐区间”.下列说法正确的是（）

A、 $[−1,0]$ 是函数 $f (x)= x^{2} −2 x$ 的一个“和谐区间” B、 $[−1,3]$ 是函数 $f (x)= x^{2} −2 x$ 的一个“和谐区间” C、 $[0,2]$ 是函数 $f (x)= |\frac{3}{2} x −1|$ 的一个“和谐区间” D、 $[\frac{2}{5},2]$ 是函数 $f (x)= |\frac{3}{2} x −1|$ 的一个“和谐区间”

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11、已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图为圆心角为 $\frac{2π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的高为（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、4 D、3

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12、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, 1, t)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数t的值为（）

A、 $- 3$ B、3 C、4 D、6

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13、已知点 $A (1, 1) ， B (5, 3) ，$ 则以线段AB为直径的圆的方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$

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14、若 $sin θ (\tan 80 ° - \sqrt{3}) = sin 80 °$ ， $θ$ 为锐角，则 $sin (θ + 30 °) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{15} + 1}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5} + 1}{8}$

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15、下列四个命题为真命题的是（）

A、若向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、若向量 $\vec{a} = (5, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(4, 2)$ C、若向量 $\vec{e}$ 是与向量 $(1, 2)$ 共线的单位向量，则 $\vec{e} = (\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、已知向量 $\vec{a} = (\cos α, \sin α)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 1$

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16、复数 $z = \frac{3 + i}{2 - i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (1 + x)$ ，则 $f (- 2)$ 等于（）

A、 $2$ B、 $6$ C、 $- 6$ D、 $0$

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18、圆 ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 9$ 和圆 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 的位置关系是（）

A、外离 B、相交 C、外切 D、内含

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19、某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯 $A C$ （ $A C > 5$ 米）的 $C$ 点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌 $D E$ .如图所示，广告牌底部点 $E$ 正好为 $D C$ 的中点，电梯 $A C$ 的坡度 $∠ C A B = 30 °$ .某人在扶梯上点 $P$ 处（异于点 $C$ ）观察广告牌的视角 $∠ D P E = θ$ ，当人在 $A$ 点时，观测到视角 $∠ D A E$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

(1)、设 $B C$ 的长为 $m$ 米，用 $m$ 表示 $tan ∠ D A B$ ；

(2)、求扶梯 $A C$ 的长；

(3)、当某人在扶梯上观察广告牌的视角 $θ$ 最大时，求 $C P$ 的长.

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20、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ．

(1)、若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，求 $3 x + 2 y$ 的值；

(2)、若 $|\vec{A B}| = 6$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{E F}$ ．

(3)、若菱形 $A B C D$ 的边长为6，求 $\vec{A E} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围．

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