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相关试卷

1、在平面直角坐标系中，已知某直线沿 $x$ 轴正方向平移3个单位，再沿 $y$ 轴负方向平移2个单位直线回到原来位置，则此直线的斜率 $k =$ .

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2、已知四边形 $A B C D$ 的四个顶点都在椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，对角线 $A C, B D$ 过原点 $O$ ，且 $k_{A C} \cdot k_{B D} = - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ ，则（）

A、 $| O A |^{2} + | O B |^{2}$ 是定值 B、 $|A C| \cdot |B D|$ 是定值 C、四边形 $A B C D$ 的面积是定值 D、四边形 $A B C D$ 的周长是定值

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3、在空间直角坐标系中，已知点 $A (- 1, - 1, 0), B (0, 2, - 1), C (2, 0, 1)$ ， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则（）

A、 $G$ 点的坐标是 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0)$ B、 $\vec{n} = (- a, a, 2 a)$ 是平面 $A B C$ 的法向量 C、平面 $A B C$ 过原点 $O (0, 0, 0)$ D、 $△ A B C$ 为锐角三角形

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4、已知抛物线 $y = x^{2}$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，弦 $P Q$ 过 $F$ 点，则下列说法正确的是（）

A、焦点 $F$ 的坐标为 $(0, \frac{1}{2})$ B、准线 $l$ 的方程为 $x = - \frac{1}{4}$ C、若 $P (x_{0}, y_{0})$ ，则 $|F P| = y_{0} + \frac{1}{4}$ D、弦 $P Q$ 的长度 $|P Q| \geq 1$

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5、已知动直线 $l : (m + 1) x + (m - 1) y + 2 m = 0$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 3$ ，则直线 $l$ 与圆 $O$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、与 $m$ 值有关，无法确定

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6、已知直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是 $- 2$ ，在 $y$ 轴上的截距是3，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $3 x - 2 y - 6 = 0$ B、 $3 x + 2 y - 6 = 0$ C、 $3 x - 2 y + 6 = 0$ D、 $3 x + 2 y + 6 = 0$

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7、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{2} x^{2} - x + 2 (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 0$ ；求证： $f (x) < \frac{4 e^{x - 2}}{x^{2}}$ ；

(3)、设 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，求证： $f (x_{1}) - f (x_{2}) < (a - \frac{1}{2}) (x_{1} - x_{2})$ .

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8、为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度 $y$ （单位：毫克/立方米）随着时间 $x$ (单位：小时)变化的函数关系式近似为 $y = {\begin{matrix} \frac{16}{9 - 2^{x}} - 1, & 0 \leq x \leq 3 \\ 16 - 2^{x - 3}, & 3 < x \leq 7 \end{matrix}$ ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ， $\lg 15 \approx 1.17$ ）
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒 $t$ 小时后空气中净化剂浓度为 $g (t)$ (毫克/立方米)，其中 $0 < t \leq 3$ ．
①求 $g (t)$ 的表达式；
②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值．

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9、已知角 $α$ （ $0 < α < π$ ）的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆 $O$ 交于点 $P (- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ ．

(1)、若角 $β$ 是由角 $α$ 的终边顺时针旋转 $\frac{π}{2}$ 得到的，求 $\cos (α + β)$ 的值；

(2)、若角 $β$ 满足 $\tan β = 2$ ，求 $\cos 2 β$ 的值．

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = {log}_{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) \cdot f (\frac{x}{4}), x \in [1, 8]$ ，求函数 $g (x)$ 的值域

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11、计算：

(1)、 ${(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} + \frac{\log_{3} 10}{\log_{3} 5} - \log_{5} 2 - e^{\ln 2}$ ；

(2)、 $\cos (- \frac{31 π}{3}) + \sin \frac{43 π}{6} + \tan (- \frac{23 π}{4})$ ．

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12、已知 $cos (θ + \frac{π}{3}) = - \frac{3}{5}, - \frac{π}{3} < θ < \frac{2 π}{3}$ ，则 $\cos θ =$ ．

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13、函数 $y = \ln (- x^{2} + 2 x + 3)$ 的单调增区间为.

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14、已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，对任意 $x, y$ 满足 $f (x - y) = f (x) g (y) - g (x) f (y)$ ，且 $f (- 2) = f (1) \neq 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $g (0) = 1$ B、函数 $f (2 x - 1)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 对称 C、 $g (1) + g (- 1) = 1$ D、若 $f (1) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2023) + f (2024) = 0$

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15、已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{4})$ ，下列选项中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上值域为 $[- \sqrt{2}, 2]$

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16、下列函数中，最小值等于4的函数是（）

A、 $y = \sin x + \frac{4}{\sin x}$ B、 $y = \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ C、 $y = e^{x} + \frac{4}{e^{x}}$ D、 $y = \frac{\lg x}{3} + \frac{12}{\lg x}$

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17、设 $f (x) = \{\begin{matrix} {(x - a)}^{2}, x \leq 0 \\ x + \frac{1}{x} + a + 4, x ＞ 0 \end{matrix} ，$ 若 $f (0)$ 是 $f (x)$ 的最小值，则 $a$ 的取值范围为

A、 $[- 2,3]$ B、 $[- 2,0]$ C、 $[1,3]$ D、 $[0,3]$

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18、函数 $y = \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, π]$ 上有且仅有 $3$ 个零点，则实数ω有（）

A、最大值 $\frac{19}{12}$ B、最大值 $\frac{19}{6}$ C、最小值 $\frac{13}{12}$ D、最小值 $\frac{13}{6}$

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19、若对 $\forall x \in [1, 2]$ ， $x^{2} - 2 a x - 3 a < 0 (a \in R)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{4}{7})$ B、 $(\frac{4}{7}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{5})$ D、 $(\frac{1}{5}, + \infty)$

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20、已知 $α \in (0, π)$ ，且 $\sin α + \cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\sin α - \cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{2}$

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