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相关试卷

1、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、若正方体棱长为2，求三棱锥 $D - A E C$ 的体积．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = n + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{99}$ ；

(3)、设 $b_{n} = \frac{n + 2}{2^{n + 2} \cdot a_{n}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} < \frac{m - 2023}{2}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ．

(1)、求过点 $P (1, 2)$ 且与圆 $C$ 相切的直线 $l$ 的方程；

(2)、直线 $m$ 过点 $P (1, 2)$ ，且与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，当 $△ A O B$ 是等腰直角三角形时，求直线 $m$ 的方程．

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4、设等差数列{ $a_{n}$ }的各项均为整数，首项 $a_{1} = 3$ ，且对任意正整数 $n$ ，总存在正整数 $m$ ，使得 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{m}$ ，则这样的数列{ $a_{n}$ }的个数为.

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5、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 的交点为 $P$ ，则 $(\vec{A A_{1}} + \vec{A B} + \vec{A D}) \cdot \vec{A P} =$ ．

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6、经过点 $(- 2, 3)$ ，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是.

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7、抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ），弦 $A B$ 过焦点 $F$ ， $△ A B Q$ 为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（）

A、点 $Q$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的准线 $x = - \frac{p}{2}$ 上 B、存在点 $Q$ ，使得 $\vec{O A} \cdot \vec{Q B} > 0$ C、 ${|Q F|}^{2} = |A F| \cdot |B F|$ D、 $△ A B Q$ 面积的最小值为 $p^{2}$

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8、正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $E 、 F 、 G$ 分别是 $A D 、 B C 、 E F$ 的中点，如图所示，将正方形沿 $E F$ 折起，使得平面 $A B F E$ 与平面 $D C F E$ 垂直，则（）

A、 $∠ A G C = \frac{2 π}{3}$ B、异面直线 $A C$ 与 $E F$ 的所成角为 $\frac{π}{3}$ C、 $A C$ 与平面 $A B F E$ 的所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、三棱锥 $C - A E G 、 C - B F G$ 和 $C - A B G$ 的体积分别为 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ， $V_{3}$ ，则 $V_{1} + V_{2} = V_{3}$

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ， $S_{n} \geq S_{4} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{1} < 0$ B、 $d > 0$ C、 $a_{4} \leq 0$ D、 $S_{9} < 0$

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10、如图，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，双曲线 $C$ 的右支上一点 $A$ ，它关于原点 $O$ 的对称点为 $B$ ，满足 $∠ F_{1} A F_{2} = 120 °$ ，且 $|B F_{2}| = 3 |A F_{2}|$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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11、若直线 $l : m x + n y - 1 = 0$ 圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 相切，则原点 $O$ 到直线 $l$ 距离的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、1

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12、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A、 $\vec{b} + \vec{c}, \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - 2 \vec{b}$ ， C、 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}, \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{c}$

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13、圆 $C_{1} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 相交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程为（）

A、 $x - 2 y - 5 = 0$ B、 $2 x + y - 2 = 0$ C、 $x - 2 y + 3 = 0$ D、 $2 x + y - 5 = 0$

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14、设 $x, y \in R$ ，空间向量 $\vec{a} = (x, 1, 1), \vec{b} = (2, y, - 2)$ ，且 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、3

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15、已知 $O$ 为坐标原点， $B (0, 3)$ ，且动点 $P (x, y)$ 在双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右支上，动点 $Q (m, n)$ 满足 $| Q O | = 2 | Q B |$ ，则 $\sqrt{{(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2}} + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 4 x + 4}$ 的最小值为.

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16、在平面内，有 $m$ 个椭圆和 $n$ 条抛物线（ $m, n \in N^{*}$ ），任意两条曲线均存在公共点，且任意三条及以上的曲线无公共点. 设所有公共点个数为V. 这些公共点将椭圆和抛物线共分割为L条曲线段（或曲射线），上述图形将平面分割为S个互不连通的区域. 如图，一个椭圆与一条抛物线相交，此时 $S = 4$ . 已知对于任意 $m, n \in N^{*}$ ， $V + S - L = 1$ 成立.

(1)、当 $m = n = 1$ 时，直接写出S的最大值及此时 $V$ 和 $L$ 的值；

(2)、当 $m = n = 2$ 时，是否存在 $V$ ，使得 $S = 25$ ？若存在，求出 $V$ 的值；若不存在，说明理由；

(3)、对于给定的 $m, n \in N^{*}$ ，设所有S的最大值为 $S (m, n)$ . 当 $S (m, n) = 221 + n$ 时，试求出 $m + n$ 的值.

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17、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(- 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且 $a = 2 b$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点. 是否存在点 $T (t, 0)$ ，使得 $∠ P T F = ∠ Q T F$ 恒成立？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由.

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18、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A D = 2$ ，点E为线段PD的中点，点 $F$ 为线段 $P C$ （不含端点）上的动点.

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若存在点 $F$ ，使得平面 $P A C$ 与平面 $A E F$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $\frac{P F}{P C}$ 的值.

(3)、在（2）的条件下，求四面体 $P - A E F$ 的体积.

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19、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，上顶点为 $A (0, 1)$ ．过 $A$ 的直线 $l$ 与 $E$ 的另一个交点为 $B$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $| A B | = \frac{4}{3} \sqrt{2}$ .
（i）求 $l$ 的方程；
（ii）求 $△ O A B$ 的面积.

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20、已知六面体 $A B C D E F$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A F / / D E$ 且 $D E = 2 A F = 4$ .

(1)、求证： $B F / /$ 平面 $D E C$ ；

(2)、若 $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $B F$ 与平面 $B E C$ 夹角的正弦值.

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