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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (2, - 3)$ ，则 $\tan (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、1 D、5

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2、在 $△ A B C$ 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $B = 30 °$ ， $b = 2$ ， $c = 2 \sqrt{2}$ ，则角C的大小为（）

A、45° B、105°或15° C、15° D、135°或45°

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3、 $\cos 24 ° \cos 69 ° + \sin 24 ° \sin 111 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4、已知 $\{a_{n}\}$ 为有穷整数数列，共有 $n$ 项．给定正整数 $T$ ，若对任意的 $t \in \{t \in N_{+} ∣ t \leq T\}$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中，存在 $a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j} (j \geq 1)$ ，使得 $max \{a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}\} - min \{a_{i}, a_{i + 1}$ ， $a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}\} = t, max \{a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}\}$ 表示 $a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}$ 中最大的一项， $min \{a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}\}$ 表示 $a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j}$ 中最小的一项，则称 $\{a_{n}\}$ 为 $T -$ 有界数列．

(1)、判断 $1, 2, 4, 8$ 是否为 $4 -$ 有界数列，判断 $1, 8, 2, 4$ 是否为 $4 -$ 有界数列，说明理由；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 共有4项， $a_{1} = 1$ ，且 $\{a_{n}\}$ 为单调递增数列，写出所有的 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 为 $6 -$ 有界数列；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 为 $10 -$ 有界数列，证明： $n \geq 6$ ．

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5、下列命题中，正确的有（）

A、函数 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与函数 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ 表示同一函数 B、已知函数 $f (2 x + 1) = 4 x - 6$ ，若 $f (a) = 10$ ，则 $a = 9$ C、若函数 $f (\sqrt{x} - 1) = x - 3 \sqrt{x}$ ，则 $f (x) = x^{2} - x - 2 (x ⩾ - 1)$ D、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则函数 $f (2 x)$ 的定义域为 $[0, 4]$

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6、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A A_{1} = A B$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $C C_{1}$ 和 $B C$ 的中点，点 $P$ 是棱 $A A_{1}$ 上的一个动点，则下列说法中正确的有（）

A、存在点 $P$ ，使得 $B_{1} M / /$ 平面 $P B C$ B、直线 $P N$ 与 $C C_{1}$ 为异面直线 C、存在点 $P$ ，使得 $B_{1} M ⊥ P N$ D、存在点 $P$ ，使得直线 $P N$ 与平面 $A B C$ 的夹角为45°

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7、已知空间向量 $\vec{A B} = (1, 2, 3)$ ， $\vec{A C} = (2, - 1, - 1)$ ， $\vec{A D} = (9, - 2, x)$ ，若 $A, B, C, D$ 四点共面，则实数x的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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8、已知椭圆 $E : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (0, - 3), F_{2} (0, 3)$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交手 $A, B$ 两点.当 $l$ 平行 $x$ 轴时， $|A B| = \frac{7}{2}$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、当 $△ A B F_{1}$ 的内切圆面积取得最大值时，求 $l$ 的方程.

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9、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C, ∠ A B C = 90^{\circ}, A B = 1, B C = 2, P B = P C = \sqrt{5}$ ．

(1)、在线段 $P B$ 上是否存在点 $Q$ 使得 $C Q ⊥$ 平面 $A B P$ ？并说明理由．

(2)、设线段 $P A$ 和 $P C$ 的中点分别为 $M$ 和 $N$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $B M N$ 夹角的余弦值．

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10、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、存在 $a_{1}$ ，使得 $S_{2} = 2$ B、 $\{a_{n}\}$ 可能是常数列 C、 $\{a_{n}\}$ 可能是递增数列 D、 $\{a_{n}\}$ 可能是递减数列

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11、有 $5$ 个相同的球，分别标有数字 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ ，从中有放回的随机取两次，每次取 $1$ 个球．记事件 $A$ 为“第一次取出的球的数字是奇数”，事件 $B$ 为“两次取出的球的数字相同”，事件 $C$ 为“两次取出的球的数字之和是 $6$ ”，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 相互独立 B、 $A$ 与 $C$ 相互独立 C、 $B$ 与 $C$ 相互独立 D、 $A B$ 与 $C$ 相互独立

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 过原点 $O$ ，且点 $A (- 3, 1)$ 和点 $B (1, 3)$ 到直线 $l$ 的距离相等，则直线 $l$ 的斜率可以是（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $2$

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13、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 且倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线分别交 $C$ 的左、右两支于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $|A F_{2}| = |B F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $3$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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14、已知甲、乙两人射击的命中率分别是 $0.4$ 和 $0.7$ ．现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（）

A、 $2 : 7$ B、 $3 : 7$ C、 $4 : 7$ D、 $5 : 7$

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15、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，点 $E$ 是 $C C^{'}$ 的中点．设 $\vec{A E}$ 在 $\vec{A^{'} D}$ 上的投影向量为 $\vec{a}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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16、已知双曲线 $C$ 的虚轴长为 $8$ ，两个顶点分别为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的两个焦点，则 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

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17、已知 $F$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点， $A, B$ 是该抛物线上的两点，且 $|A F| + |B F| = 6$ ，则线段 $A B$ 的中点到 $x$ 轴的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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18、如图，已知向量 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，可构成空间向量的一个基底，若 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ ， $\vec{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3})$ ．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算 $\vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ ，显然 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的结果仍为一向量，记作 $\vec{p}$

(1)、求证：向量 $\vec{p}$ 为平面OAB的法向量；

(2)、若 $\vec{a} = (1, - 1, \sqrt{7})$ ， $\vec{b} = (0, - 3, 0)$ ，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ 的大小；

(3)、将四边形OADB按向量 $\vec{O C} = \vec{c}$ 平移，得到一个平行六面体 $O A D B - C A_{1} D_{1} B_{1}$ ，试判断平行六面体的体积V与 $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$ 的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）

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19、已知圆 $C : x^{2} - 6 x + y^{2} - 6 y + 3 = 0$ ，直线 $l : x + y - 2 = 0$ 是圆 $E$ 与圆 $C$ 的公共弦AB所在直线，且圆 $E$ 的圆心在直线 $y = 2 x$ 上.

(1)、求公共弦AB的长度；

(2)、求圆 $E$ 的方程；

(3)、过点 $Q (- 1, 0)$ 分别作直线 $M N$ ， $R S$ ，交圆 $E$ 于 $M$ ， $N$ ， $R$ ， $S$ 四点，且 $M N ⊥ R S$ ，试探究 $| M N |^{2} + | R S |^{2}$ 是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.

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20、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2, A A_{1} = 4, A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 分别为棱 $B B_{1}, B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}, D D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 四点共面；

(2)、 $P$ 为边 $C C_{1}$ 上一点，若平面 $P A_{2} D_{2}$ 与平面ABCD所成夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求CP的长度.

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