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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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2、已知函数 $y = g (x)$ 的对应关系如表所示，函数 $y = f (x)$ 的图象是如图所示，则 $g [f (1)]$ 的值为（）
$x$
1
2
3
$g (x)$
4
3
-1

A、-1 B、0 C、3 D、4

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3、设 $n \geq 5$ 为正整数， $0 < a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ 为正实数列．我们称满足 $\frac{a_{j} - a_{i}}{a_{k} - a_{j}} = r$ （其中 $1 \leq i < j < k \leq n$ ）的三元数组 $(i, j, k)$ 为“ $r -$ 比值组”.

(1)、若 $n = 5$ ，且 ${a_{n}}$ 为等差数列，写出所有的 $1 -$ 比值组；

(2)、给定正实数 $r$ ，证明：中位数为4（即 $(i, j, k)$ 中 $j = 4$ ）的 $r -$ 比值组至多有3个；

(3)、记 $r -$ 比值组的个数为 $f_{n} (r)$ ，证明： $f_{n} (r) < \frac{n^{2}}{4}$ .

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2, S_{4} = 2 a_{5}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{x}{2} + a x$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上没有零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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6、“ $\sin θ \cdot \cos θ > 0$ ”是“ $θ$ 为第一象限角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知直线 $2 x + 3 y - 6 = 0$ 经过椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点 $A$ 和上顶点 $B$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程及离心率；

(2)、与直线 $A B$ 平行的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M, N$ 两点（ $M, N$ 均不与 $C$ 的顶点重合），设直线 $A M$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值．

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ⊥ A B$ ， $C D ∥ A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D$ ， $A D = C D = 2$ ， $A B = 4$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ .

(2)、若平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，求点 $C$ 到平面 $P A B$ 的距离.

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9、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌，创造了境外参加奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识测试，根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求测试成绩的中位数（结果精确到小数点后一位）；

(2)、采用分层随机抽样的方法从成绩在 $[40, 60)$ 内的学生中抽取5人，再从抽取的这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的成绩在 $[50, 60)$ 内的概率.

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10、已知 $y = f (x + 1)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x + 4) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [- 1, 1)$ 时， $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ ，则 $f (1) =$ ， $f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025) =$ .

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11、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 9$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 1}{1 - a_{n}}$ ，则 $a_{2024} =$ .

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12、已知球 $O$ 的表面积为 $144 π$ ，正四棱锥的顶点为 $O$ ，底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上，底面边长为4，则该正四棱锥的高为.

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13、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y + 9 = 0$ 与直线 $l : 3 x + 4 y - 3 = 0$ ，点 $P$ 在圆 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $l$ 上，则（）

A、圆 $C$ 上有两个点到直线 $l$ 的距离为2 B、圆 $C$ 上只有一个点到直线 $l$ 的距离为2 C、 ${|P Q|}_{\min} = 2$ D、从点 $Q$ 向圆 $C$ 引切线，切线长的最小值是 $2 \sqrt{5}$

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14、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} + n^{2} - 4 n + 2$ ，且 $a_{r}$ ， $a_{s}$ 的等差中项为11（ $r, s \in N^{*}$ ），则 $r + s =$ （）

A、4 B、8 C、10 D、12

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15、冈珀茨模型（ $y = k \cdot a^{b t}$ ）由冈珀茨提出，作为动物种群生长模型，可用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种 $t$ 年后的种群数量 $y$ 近似满足冈珀茨模型 $y = k_{0} \cdot e^{1.4 e - 0.125 t}$ ，（ $k_{0} > 0$ ，当 $t = 0$ 时表示2024年初的种群数量），经过 $n (n \in N)$ 年后，当该物种的种群数量不足2024年初种群数量的10%时即将有濒临灭绝的危险，则 $n$ 的最小值为（ $\ln 10 \approx 2.3$ ）（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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16、已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{5}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{70}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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17、下列函数中，最小正周期为 $π$ 且奇偶性与函数 $f (x) = x^{5}$ 相同的是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = - \sin 2 x$ C、 $y = \cos 2 x$ D、 $y = \sin | x |$

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 5$ ， $b = 4$ ， $c = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{15 \sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{13 \sqrt{6}}{4}$ C、 $5 \sqrt{7}$ D、 $6 \sqrt{6}$

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19、在复平面内，复数 $(1 - 2 i) (3 + i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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20、设集合 $A = \{x| - 2 < x \leq 1\}$ ， $B = \{x| - 1 \leq x < 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x| - 1 \leq x \leq 1\}$ B、 $\{x| - 1 < x < 1\}$ C、 $\{x| - 2 < x < 2\}$ D、 $\{x| - 2 \leq x \leq 2\}$

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$x$	1	2	3
$g (x)$	4	3	-1