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相关试卷

1、已知 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是直三棱柱，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足 $b \cos C + C \cos B = a \sin A$ ， $a = \sqrt{2 b c} = 1$ ，若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 有内切球，则 $A A_{1} =$ （）

A、 $2 \sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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2、从两名男同学和四名女同学中随机选出三人参加数学竞赛，则恰好选出一名男同学和两名女同学的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{2} x|, 0 < x < 4 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1, x \geq 4 \end{array}$ 与直线 $y = a$ 恰有三个交点，则a的取值范围是（）

A、 $[1, 2]$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 2]$ D、 $[1, 2)$

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4、若 $cos 10 ° = a$ ， $sin 10 ° = b$ ，则 $\frac{cos 80 ° sin 10 °}{sin 20 °} =$ （）

A、 $\frac{a}{2 b}$ B、 $\frac{b}{2 a}$ C、 $\frac{a}{b}$ D、 $\frac{b}{a}$

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5、已知集合 $A = \{x |y = \frac{x}{\sqrt{2 - x}} + \ln x\}$ ，集合 $B = \{x |y = x^{2} + 2 x - 3 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 3, 2)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(- 3, - 2)$

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6、若 $\frac{z}{z + 1} = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + (a - 1) \ln x$ ， $f^{'} (2) = 2.$

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极小值.

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8、已知函数 $f (x) = \sin x (1 - 2 \cos^{2} \frac{x}{2})$ ，则曲线 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{3}$ 处的切线斜率为.

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9、如图，在正三棱锥 $P - A B C$ 中，点G为 $△ A B C$ 的重心，点M是线段 $P G$ 上的一点，且 $P M = 3 M G$ ，记 $\vec{P A} = \vec{a}, \vec{P B} = \vec{b}, \vec{P C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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10、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, - 3)$ .

(1)、求 $| \vec{b} |$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，求 $\vec{a}$ 的坐标；

(3)、若 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = 2 \sqrt{7}$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角.

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11、某摩天轮最高点距离地面高度 $128$ 米，转盘直径为 $120$ 米，设置有 $48$ 个座舱，每相邻两个乘座舱与旋转中心所成的圆心角均相等，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要 $30$ 分钟，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，在 $t min$ 后距离地面的高度 $h (t) = A sin (ω t + φ) + B (A > 0, ω > 0, |φ| \leq \frac{π}{2})$ ，则 $h (t)$ 的函数解析式为；在摩天轮转动的一周内，有 $min$ 距离地面超过 $38$ 米.

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12、如图，已知菱形 $A B C D$ ，用斜二测画法作出菱形 $A B C D$ 的直观图即四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积为.

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13、若正方体的顶点都在同一球面上，该球的表面积为 $36 π$ ，则该正方体的体积为．

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14、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $(\sqrt{3} c - 2 a sin B) sin C = \sqrt{3} (b sin B - a sin A)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\cos A \cos C$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{4}]$ B、若D是AC边上的一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D A}$ ， $B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、若三角形是锐角三角形，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$ D、若三角形是锐角三角形，BD平分 $∠ A B C$ 交AC于点D，且 $B D = 1$ ，则 $4 a + c$ 的最小值为 $3 \sqrt{3}$

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15、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}, C_{1} C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A M$ 与 $B N$ 是平行直线 B、直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线 C、直线 $M N$ 与 $A C$ 所成的角为 $60^{\circ}$ D、四边形 $M N B A_{1}$ 的面积为 $\frac{9}{2}$

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16、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 i$ ，则下列关于复数 $z$ 的结论正确的是（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 对应的点落在第四象限 C、复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = - 1 - i$ D、复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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17、已知 $△ A B C$ 中， $A B = 3, A C = 5, B C = 7, O$ 为 $△ A B C$ 外接圆的圆心， $I$ 为 $△ A B C$ 内切圆的圆心，则 $(\vec{A O} + \vec{A I}) \cdot \vec{B C} =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、11

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18、如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱 $A A^{'} = 16$ ，底面边长 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，若侧面 $A A^{'} B B^{'}$ 水平放置时，水面恰好经过 $A C, B C, A^{'} C^{'}, B^{'} C^{'}$ 的中点 $D, E, D^{'}, E^{'}$ ，现将底面 $A B C$ 水平放置，若打开上底面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的盖子，从上底面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 放入半径为2的小铁球，当水从上底面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 溢出时，则需放入的小铁球个数的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、向量 $\vec{a} = (2, 2 \sqrt{3})$ 在向量 $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ 上的投影向量是（）

A、 $(- 3, \sqrt{3})$ B、 $(3, \sqrt{3})$ C、 $(3, - \sqrt{3})$ D、 $(- 3, - \sqrt{3})$

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20、如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行于平面MNQ的是（）

A、 B、 C、 D、

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