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相关试卷

1、把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 $θ_{1}^{\circ} C$ ，空气的温度是 $θ_{0}^{\circ} C$ ，那么 $t min$ 后物体的温度 $θ$ （单位： $^{\circ} C$ ）可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 求得，其中 $k$ 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有 $75^{\circ} C$ 的物体，放在 $25^{\circ} C$ 的空气中冷却， $2 min$ 以后物体的温度降为 $50^{\circ} C$ .若将 $68^{\circ} C$ 的物体放在 $20^{\circ} C$ 的空气中冷却，则物体温度降为 $32^{\circ} C$ 所需要的冷却时间为（）

A、 $2 min$ B、 $3 min$ C、 $4 min$ D、 $6 min$

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2、函数 $f (x) = x^{2} - 2^{x}$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3、下列正确的是（）

A、 $sin \frac{π}{12} cos \frac{π}{12} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{2 tan {22.5}^{\circ}}{1 - {tan}^{2} {22.5}^{\circ}} = \frac{1}{2}$ C、 ${cos}^{4} \frac{π}{8} - {sin}^{4} \frac{π}{8} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $1 - 2 {cos}^{2} {22.5}^{\circ} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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4、已知角 $α$ 的终边上有一点 $P$ 的坐标是 $(3 t, 4 t)$ ，其中 $t \neq 0$ ，则（）

A、 $α = \frac{π}{4}$ B、 $sin α = \frac{4}{5}$ C、 $cos α = \frac{4}{5}$ D、 $tan α = \frac{4}{3}$

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5、集合 $A, B$ 与对应关系 $f$ 如图所示，下列说法正确的是（）

A、若 $f (a - 1) = \frac{1}{2} f (5)$ ，则 $a = 2$ B、 $f : A \to B$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数 C、 $x \in A, y \in B$ 对应关系 $f : x \to y = \sqrt{2 x - 1}$ D、 $f : A \to B$ 的定义域为集合 $A$ ，值域为集合 $B$

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6、下列正确的是（）

A、 $a^{0} = 1$ B、若 $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 1$ ，则 $a - a^{- 1} = 3$ C、 $3^{{log}_{2} 3} = 3$ D、 ${log}_{2} 3 \times {log}_{3} 4 \times {log}_{4} 5 \times {log}_{5} 2 = 1$

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7、已知命题 $p : sin θ < 0$ ，命题 $q : θ$ 为第三象限或第四象限的角，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知集合 $A = {x \in N | 3 \leq x < 7}, B = \{y \in R ∣ y \geq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、集合 $A$ C、 $\{4, 5, 6\}$ D、 $[4, 7)$

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9、下列递推关系式或其通项公式可以使数列 $\{a_{n}\}$ 为周期数列的有（）

A、 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ B、 $a_{n} = 2^{n} cos \frac{n π}{2}$ C、 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \{\begin{matrix} 2 a_{n}, n 是奇数 \\ \frac{1}{a_{n}}, n 是偶数 \end{matrix}$ D、 $a_{n} = n^{3} + 2025$

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10、为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且 $A B = B C = 50$ 米，则塔的高度 $O P =$ 米.

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11、若 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}\}$ 是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量 $\vec{a}$ ，存在唯一的有序实数组 $(x, y, z)$ ，使得 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} + z \vec{e_{3}}$ ，我们把有序实数组 $(x, y, z)$ 叫做基底 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}\}$ 下向量 $\vec{a}$ 的斜坐标.设向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的斜坐标为 $(- 1, 2, 3)$ ，则向量 $\vec{p}$ 在基底 ${\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}}$ 下的斜坐标为（）

A、 $(2, - 4, - 1)$ B、 $(- 2, - 4, 1)$ C、 $(- 2, 4, 1)$ D、 $(2, - 4, 1)$

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12、已知 $x_{0}$ 为函数 $f (x) = x^{2} e^{x} + e^{2} \ln x - 2 e^{2}$ 的零点，则 $x_{0} + \ln x_{0} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、定义：已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，把圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ 称为该椭圆的协同圆.设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的协同圆为圆 $O$ ( $O$ 为坐标系原点)，试解决下列问题：
（1）写出协同圆圆 $O$ 的方程；
（2）设直线 $l$ 是圆 $O$ 的任意一条切线，且交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值；
（3）设 $M, N$ 是椭圆 $C$ 上的两个动点，且 $O M ⊥ O N$ ，过点 $O$ 作 $O H ⊥ M N$ ，交直线 $M N$ 于 $H$ 点，求证：点 $H$ 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.

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14、已知复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(2, - 2)$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、 $- 2 i$ C、2 D、 $2 i$

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15、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为边 $B C$ 上靠近 $B$ 点的三等分点， $∠ A D C = 60 °$ ， $A D = 2$ ．

(1)、若 $∠ A C D = 45 °$ ，求三角形 $△ A B C$ 的面积；

(2)、当 $\frac{A C}{A B}$ 最小时，求 $B D$ 的长．

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16、已知复数 $z_{1} = \sin 2 x + λ i$ ， $z_{2} = m + (m - \sqrt{3} \cos 2 x) i, (λ, m, x \in R)$ ，且 $z_{1} = z_{2}$ ．

(1)、若 $λ = 0$ 且 $0 < x < π$ ，求 $x$ 的值；

(2)、设 $λ$ ＝ $f (x)$ ，已知当 $x = α$ 时， $λ = \frac{1}{2}$ ，试求 $\cos (4 α + \frac{π}{3})$ 的值．

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若向量 $\vec{p} = (a, \cos A)$ ，向量 $\vec{q} = (\sqrt{3} b, \sin B)$ ，且 $\vec{p} // \vec{q}$ ．
（1）求角 $A$ 的大小；
（2）若 $3 b = c = 3$ ，且 $3 \overset{⃑}{B D} = \overset{⃑}{B C}$ ，求 $|\overset{⃑}{A D}|$ ．

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18、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3 \vec{b}) = - 5$ ．

(1)、若 $(\vec{a} - \vec{k b}) ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，求实数k的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 的夹角．

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19、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，点P满足 $\overset{⃑}{A P} = \frac{1}{2} (\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C})$ ，则 $| \overset{⃑}{P D} | =$ ； $\overset{⃑}{P B} \cdot \overset{⃑}{P D} =$ ．

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\tan θ = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ C、若 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 共线，则 $\vec{b}$ 为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 或 $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、存在 $θ$ ，使得 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

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