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相关试卷

1、已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，空间内的动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} +$ $z \vec{A A_{1}}$ ，其中 $x$ ， $y$ ， $z \in [0, 1]$ ，且 $P$ 到棱 $C C_{1}$ 的距离和 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离相等，则（）

A、当 $z = 1$ 时， $P$ 的轨迹长度为 $\frac{π}{2}$ B、当 $x = \frac{1}{2}$ 时，四面体 $C B C_{1} P$ 的体积为定值 C、存在点 $P$ ，使得 $A P = \frac{π}{4}$ D、直线 $B P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值最大为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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2、如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为（）

A、0.25m B、0.5m C、1m D、2m

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3、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{3, 4, 5, 6\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3, 4\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{5, 6\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

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4、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线FB过点 $P (1, 2)$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于M，N两点（M、N都不在坐标轴上），若 $∠ M P F = ∠ N P F$ ，求直线 $l$ 的方程.

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5、某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位： $cm$ ）介于 $[15, 25]$ 之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若从高度在 $[15, 17)$ 和 $[17, 19)$ 中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在 $[15, 17)$ 内的株数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

(3)、以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在 $[15, 17)$ 内的株数为 $Y$ ，求 $Y$ 的数学期望.

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6、如图，在底面 $A B C D$ 是矩形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 1, B C = 2, P A = P D = \sqrt{6}$ ，点 $P$ 在底面 $A B C D$ 上的射影为点 $O (O$ 与 $B$ 在直线 $A D$ 的两侧 $)$ ，且 $P O = 2$ .

(1)、求证： $A O ⊥ P D$ ；

(2)、求平面 $A B P$ 与平面 $B C P$ 夹角的余弦值.

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7、已知双曲线C： $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为原点，若以 $|F_{1} F_{2}|$ 为直径的圆与 $C$ 的渐近线的一个交点为 $P$ ，且 $|F_{1} P| = \sqrt{3} |O P|$ ，则 $C$ 的离心率为.

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8、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为正方体的中心， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为侧面正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 内一动点，且满足 $B_{1} F / /$ 平面 $B C_{1} M$ ，则（）

A、三棱锥 $D_{1} - D C B$ 的外接球表面积为 $12 π$ B、动点 $F$ 的轨迹的线段为 $\frac{π}{2}$ C、三棱锥 $F - B C_{1} M$ 的体积为定值 D、若过 $A$ ， $M$ ， $C_{1}$ 三点作正方体的截面 $Ω$ ， $Q$ 为截面 $Ω$ 上一点，则线段 $A_{1} Q$ 长度的取值范围为 $[\frac{2 \sqrt{6}}{3}, 2 \sqrt{2}]$

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9、已知 $A B$ 是圆O： $x^{2} + y^{2} = 2$ 的直径，M，N是圆O上两点，且 $∠ M O N = 120 °$ ，则 $(\vec{O M} + \vec{O N}) \cdot \vec{A B}$ 的最小值为（）

A、0 B、-2 C、-4 D、 $- 4 \sqrt{3}$

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10、已知数列 $a_{n} = 2 n - 1,$ $b_{n} = 3 n - 2$ ，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为 $\{c_{n}\}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式为（）

A、 $c_{n} = 3 n - 2$ B、 $c_{n} = 4 n - 1$ C、 $c_{n} = 5 n - 3$ D、 $c_{n} = 6 n - 5$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{- 2 x}{x^{2} + 2}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、用单调性定义证明 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递减；

(3)、若 $f (x)$ 的定义域为 $(- 1, 1)$ ，解不等式 $f (x^{2}) + f (\frac{1}{6} - \frac{5}{6} x) > 0$ .

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12、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x + \sin^{2} x$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [\frac{π}{6}, \frac{5 π}{12}]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(3)、当 $x \in [\frac{π}{6}, \frac{5 π}{12}]$ 时，方程 $f (x) = k$ 恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．

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13、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱（挂在轮边缘）里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的半径为60米，其中心距离地面70米，开启后沿逆时针方向匀速旋转，乘客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．

(1)、设乘客P坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面高度为h米，求在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式；

(2)、摩天轮在转动一圈的过程中，乘客距离地面超过100米的时间有多长？

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14、已知 $f (α) = \frac{\sin (7 π - α) \cdot \cos (α + \frac{3 π}{2}) \cdot \cos (3 π + α)}{\sin (α - \frac{3 π}{2}) \cdot \cos (α + \frac{5 π}{2}) \cdot \tan (α - 5 π)}$ .
（1）化简 $f (α ）$ ；
（2）若 $α$ 是第二象限，且 $\cos (\frac{3 π}{2} + α) = \frac{1}{7}$ ，求 $f (α)$ 的值．

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15、已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ．若 $- \frac{π}{2} < β < 0$ ， $\cos (\frac{β}{2} - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $α - β$ 的值是．

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16、已知函数 $f (x) = cos 2 x cos φ - sin 2 x sin φ$ $(0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{6},0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $x = \frac{5}{12} π$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴 B、函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{6}]$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位可得到 $y = cos 2 x$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为－1

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17、数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 满足： $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $a_{1} = b_{1} = 2$ ， $b_{2} = 4$ ，且 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} = 2 (a_{n} - 3) b_{n} + 8 (n \in N_{+})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、求集合 $A = \{x |(x - a_{i}) (x - b_{i}) = 0, i \leq 100, i \in N_{+}\}$ 中所有元素的和．

(3)、对数列 $\{c_{n}\}$ ，若存在互不相等的正整数 $k_{1}, k_{2}, \dots k_{j} (j \geq 2)$ ，使得 $c_{k_{1}} + c_{k_{2}} + \dots + c_{k j}$ 也是数列 $\{c_{n}\}$ 中的项，则称数列 $\{c_{n}\}$ 是“和稳定数列”．试判断数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 是否是“和稳定数列”，并说明理由．

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18、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上的最值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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19、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为8，离心率为 $\frac{4}{5}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $4 x - 5 y + 10 = 0$ 与C交于 $A, B$ 两点，点 $P$ 为椭圆上任意一点，求 $△ P A B$ 的面积的最大值.

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20、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，四边形 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ D A B ＝ 60 °$ ， E是AD的中点.

(1)、判断直线BE与平面 $P A D$ 的位置关系，并证明；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 所成的锐二面角的余弦值.

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