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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的数量积（又称向量的点积或内积）： $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角；定义向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的向量积（又称向量的叉积或外积）： $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的面积为 $|\vec{A B} \times \vec{A C}|$ B、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 为非零向量，且 $|\vec{a} \times \vec{b}| = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ C、若 $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3} \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、已知点 $A (\sqrt{3}, 0), B (1, 1), O$ 为坐标原点，则 $|\vec{O A} \times \vec{O B}| = 2 \sqrt{3}$

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2、下列选项正确的是（）

A、 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$ B、 $x + \frac{1}{x} \geq 2 (x > 0)$ C、 $x + \frac{1}{x - 1} \geq 3 (x > 1)$ D、 $\frac{2 x y}{x + y} < \sqrt{x y} (x, y \in N^{*}, x \neq y)$

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3、如图在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N, P$ 分别是 $C_{1} D_{1}, C_{1} C, A_{1} A$ 的中点，则下列选项正确的是（）

A、 $M N$ $∥$ 平面 $A D_{1} C$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $M N P$ C、 $M, N, B, A_{1}$ 四点共面 D、 $M N$ 与 $A C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$

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4、已知 $cos (α + β) = \frac{1}{5}, cos (α - β) = \frac{2}{5}, α \in (0, \frac{π}{2}), β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $tan α + tan β$ 的值为（）

A、 $\frac{11}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{6}}{3}$ D、 $4 \sqrt{6}$

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数， $f (x + 2) + f (x) = 0$ .当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2 x$ ，则 $f (211) =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、2

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6、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边上靠近点 $C$ 的三等分点， $E$ 是 $A D$ 的中点，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7、已知长方体的长､宽､高分别为 $2, 1, 1$ ，则这个长方体外接球的表面积与体积之比为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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8、已知函数 $f (x) = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $R$ B、若 $a > 1, m > n$ ，则 $a^{m} < a^{n}$ C、函数 $f (x)$ 的图象恒过定点 $(0, 1)$ D、若 $0 < a < 1, x > 0$ ，则 $f (x) > 1$

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9、已知 $z = (1 - i) i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 4 = 0\}$ ，则（）

A、 $\{- 2, 2\} \subseteq A$ B、 $\{- 2, 2\} \in A$ C、 $2 \notin A$ D、 $- 2 \subseteq A$

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11、已知复数 $z = (a + 1) - a i (a \in R)$ ，则“ $|z| = 1$ ”是“ $a = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知函数 $f (x) = λ sin (\frac{π}{2} x + φ) (λ > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图1所示， $A ､ B$ 分别为图象的最高点和最低点，过 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，交 $x$ 轴于 $A^{'}$ ，点 $C$ 为该部分图象与 $x$ 轴的交点.将绘有该图象的纸片沿 $x$ 轴折成直二面角，如图2所示，此时 $|A B| = \sqrt{10}$ ，则下列四个结论正确的有（）

A、 $λ = \sqrt{3}$ B、 $φ = \frac{π}{3}$ C、图2中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 5$ D、图2中， $S$ 是 $△ A^{'} B C$ 及其内部的点构成的集合.设集合 $T = \{Q \in S| |A Q| \leq 2\}$ ，则 $T$ 表示的区域的面积大于 $\frac{π}{4}$

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13、等差数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n} + T_{n}}{T_{n}} = \frac{5 n + 5}{3 n + 2} (n \in N^{*})$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ （）

A、 $\frac{13}{17}$ B、 $\frac{17}{23}$ C、 $\frac{21}{29}$ D、 $\frac{33}{47}$

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} = 1, a_{3} = 4 \sqrt{3} + 1$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足： $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ .

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列；

(2)、试探究数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由.

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15、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2, E, F, G$ 分别是棱 $A B, B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、求直线 $B_{1} D$ 与平面 $E F G$ 所成角的正弦值；

(2)、求平面 $C_{1} G F$ 与平面 $E G F$ 的夹角的余弦值；

(3)、若点 $H$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点，试探究点 $H$ 是否在平面 $E F G$ 上，请说明理由.

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16、人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为 $85 %$ ；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为 $50 %$ .

(1)、在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个.以 $ξ$ 表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、已知输入的问题出现语法错误的概率为 $10 %$ .
（i）求聊天机器人模型的回答被采纳的概率；
（ii）若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率.

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17、已知在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $2 b \cos C = c \cos B$ ，则 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C}$ 的最小值为．

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18、某中学 1600 名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (150, σ^{2})$ ，已知成绩小于 130的有 300 人，则可估计该校一分钟跳绳成绩 $X$ 在 $150 \sim 170$ 次之间的人数约为.

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19、二项式 ${(2 \sqrt{x} + \frac{1}{x^{3}})}^{7}$ 的展开式中的常数项为.（用数字作答）

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20、半正多面体（ $s e m i r e g u l a r s o l i d$ ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是（）

A、 $M Q ⊥$ 平面 $A E M H$ B、异面直线 $B C$ 和 $E A$ 所成角为60° C、该二十四等边体的体积为 $\frac{40 \sqrt{2}}{3}$ D、该二十四等边体外接球的表面积为 $16 π$

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