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相关试卷

1、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A ⊥ C B, A B = C C_{1} = 2$ ，该三棱柱所有顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{32 π}{3}$ C、 $8 π$ D、 $\frac{64 \sqrt{2} π}{3}$

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2、某家电公司生产了 $A, B$ 两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（）

A、 $A$ 型号空调月销售量的极差比 $B$ 型号空调月销售量的极差大 B、 $A$ 型号空调月平均销售量比 $B$ 型号空调月平均销售量大 C、 $A$ 型号空调月销售量的上四分位数比 $B$ 型号空调销售量的上四分位数大 D、 $A$ 型号空调月销售量的方差比 $B$ 型号空调月销售量的方差小

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3、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, P$ 是 $C$ 上一点，且 $△ O P F$ 的面积为1.则 $|P F| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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4、设 $a, b \in R$ ，则“ $a b < 1$ ”是“ $0 < a < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (1, m)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、0 C、1 D、2

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6、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - i$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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7、下列各组向量中，可以作基底的是（）

A、 $\vec{m} = (3, - 2)$ ， $\vec{n} = (4, 1)$ B、 $\vec{m} = (- 2, 3)$ ， $\vec{n} = (4, - 6)$ C、 $\vec{m} = (2, 0)$ ， $\vec{n} = (0, 3)$ D、 $\vec{m} = (- 1, 3)$ ， $\vec{n} = (- 2, 6)$

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8、在三角形 $A B C$ 中， $a = 2$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，则 $∠ C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{π}{2}$

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9、 $(x + 1) {(2 x - 1)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为.（用数字作答）

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10、在 $△ A B C$ 中，点 $E$ 在线段 $B C$ 上，且 $\vec{B C} = 3 \vec{B E}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$

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11、黔西一中为了提高学生对“黔西一中校史”的了解，举办了“知史爱校守初心”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（ $40 \leq x \leq 100$ ）的整数分成六段： $[40, 50), [50, 60) \dots \dots, [90, 100]$ ，并作出如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、求样本数据的第59百分位数；

(3)、已知样本数据落在 $[50, 60)$ 的平均数是52，方差是6；落在 $[60, 70)$ 的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数 $\bar{x}$ 和总方差 $s^{2}$ .

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12、双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数： $\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数： $\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ （ $e$ 是自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ）.

(1)、求 $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x)$ 的值；

(2)、证明：两角和的双曲余弦公式 $\cosh (x + y) = \cosh (x) \cosh (y) + \sinh (x) \sinh (y)$ ；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $4 m \cosh^{2} (x) - 2 \sinh (2 x) - 3 \geq 0$ 在 $[\ln 2, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、如图，在平行四边形ABCD中， $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{C P} = 2 \vec{P D}$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{A Q}$ ， $\vec{P Q} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，

(1)、求 $λ + μ$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，求 $\vec{B D} \cdot \vec{P Q}$ 的值．

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14、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} sin x$ .在 $△ A B C$ 中， $f (B) = f (C)$ ，且 $b \neq c$ .

(1)、求 $∠ A$ 的大小：

(2)、若 $a = 5$ ， $b + c = 7$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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15、若函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 ω x - 2 {cos}^{2} ω x + 1 (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上只有一个零点，则 $ω$ 的取值范围为.

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16、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 6)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (m, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则向量 $\vec{c}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为.

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17、计算： $8^{- \frac{2}{3}} + {log}_{9} 8 \cdot {log}_{2} 3 =$ ．

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18、设复数 $z = \frac{1 + 3 i}{2 + i}$ ，则下列命题结论正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为1 B、 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限 C、 $|z| = \sqrt{2}$ D、 $z$ 是方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的根

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19、下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $2 sin 15^{\circ} cos 15^{\circ}$ B、 $\frac{1 + tan 15^{\circ}}{2 (1 - tan 15^{\circ})}$ C、 $1 - 2 {sin}^{2} 15^{\circ}$ D、 $\frac{2 tan 15^{\circ}}{1 - {tan}^{2} 15^{\circ}}$

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20、若角 $θ$ 的终边与单位圆的交点坐标是 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} + θ) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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