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相关试卷

1、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，公差 $d \neq 0$ ， $\{a_{n}\}$ 中的部分项 $a_{k_{1}}, a_{k_{2}}, \dots \dots, a_{k_{n}}$ 恰为等比数列，且公比为 $q$ ，若 $k_{1} = 1$ ， $k_{2} = 6$ ， $k_{3} = 16$

(1)、求 $q$ ；

(2)、求数列 $\{k_{n}\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项之和.

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2、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，由 $C$ 的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $N (0, 3)$ ，过点 $M (0, 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同两点 $A$ ， $B$ ．证明： $k_{N A} + k_{N B} = 0$ ．

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3、已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ，且长轴长为 $2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过椭圆 $C$ 的右焦点 $F (1, 0)$ 作倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ ，直线 $l$ 与椭圆相交于 $M$ ， $N$ 两点，求线段 $M N$ 的长．

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4、在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 、 $\frac{4}{5}$ 、 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{1}{3}$ ，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和期望．

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5、若函数 $y = \frac{a^{x} + 1}{2^{x}}$ 为偶函数，则正实数 $a$ 的值为．

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6、 ${(x^{2} - 2 x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{6}$ 的系数是.（用数字作答）

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7、互不相等的一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 成等差数列，公差为 $d$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的平均数等于 $x_{1}, x_{3}, x_{5}$ 的平均数 B、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的上四分位数和下四分位数之差为 $2 d$ C、从 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 这5个数中任选3个数，这3个数成等差数列的概率为 $\frac{2}{5}$ D、若 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的标准差为2，可得 $d = \sqrt{2}$

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8、下列说法正确的是（）

A、若定点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 满足 $| F_{1} F_{2} | = 8$ ，动点P满足 $|P F_{1} |+| P F_{2}| = 8$ ，则动点P的轨迹是椭圆 B、若定点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 满足 $|F_{1} F_{2}| = 8$ ，动点M满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 10$ ，则动点M的轨迹是椭圆 C、当 $1 < k < 4$ 时，方程 $\frac{x^{2}}{4 - k} + \frac{y^{2}}{k - 1} = 1$ 表示椭圆 D、若动点M的轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 $(\pm \sqrt{2}, 0)$

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9、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点， $P$ 是椭圆 $C$ 上一点．若 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}, |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10、已知 $α$ 是第一象限角，且 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{4}) =$ （　　）

A、 $\frac{17 \sqrt{2}}{50}$ B、 $- \frac{31 \sqrt{2}}{50}$ C、 $- \frac{17 \sqrt{2}}{50}$ D、 $\frac{31 \sqrt{2}}{50}$

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11、已知集合 $A = \{x |1 + \frac{x}{x - 1} > 0\}$ ， $B = \{- 2, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 2, 1, 2\}$ D、 $\{- 2, 0, 2\}$

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12、如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将 $△ A D E$ 沿DE翻折到 $△ S D E$ ， $△ B E F$ 沿EF翻折到 $△ S E F$ ，

(1)、求证：平面 $S E F ⊥$ 平面SFD；

(2)、当F是边BC的中点时，二面角 $D - S E - F$ 的大小；

(3)、若 $B F > 1$ ，将 $△ A D E$ 沿DE翻折到 $△ S D E$ ， $△ B E F$ 沿EF翻折到 $△ S E F$ ，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的最大值.

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13、若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{2024}$ 均为正实数，则 $x_{1} + \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{3}}{x_{1} x_{2}} + \frac{x_{4}}{x_{1} x_{2} x_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{x_{2024}}{x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{2023}} + \frac{4}{x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{2024}}$ 的最小值为.

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14、已知 $sin θ, cos θ$ 是方程 $x^{2} - 2 sin α \cdot x + {sin}^{2} β = 0$ 的两个实根， $\cos 2 α \neq 0$ ，则 $\frac{\cos 2 β}{\cos 2 α} =$ ．

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15、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为3，其外接球的球心为 $O$ ．点 $E$ 满足 $\overset{⃑}{A E} = λ \overset{⃑}{A B}$ $(0 < λ < 1)$ ，过点 $E$ 作平面 $α$ 平行于 $A C$ 和 $B D$ ，设 $α$ 分别与该正四面体的棱 $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 相交于点 $F$ ， $G$ ， $H$ ，则（）

A、四边形 $E F G H$ 的周长为定值 B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，四边形 $E F G H$ 为正方形 C、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时， $α$ 截球 $O$ 所得截面的周长为 $\frac{13}{4} π$ D、四棱锥 $A - E F G H$ 的体积的最大值为 $\frac{2}{3} \sqrt{2}$

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16、已知在一次随机试验 $E$ 中，定义两个随机事件 $A$ 和 $B$ ，若 $P (A) = \frac{1}{4}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $P (\bar{A}) = \frac{3}{4}$ B、若 $A$ 、 $B$ 相互独立，则 $A$ 和 $B$ 至少有一个发生的概率为 $\frac{1}{2}$ C、 $0 \leq P (A B) \leq \frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{3} \leq P (A + B) \leq \frac{7}{12}$

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17、已知函数 $f (x) = e x + π, g (x) = {(\frac{π}{e})}^{x}$ （e为自然对数的底数），则（）

A、 $\forall x \in (0, + \infty), f (x) > g (x)$ B、 $\exists x_{0} \in (\frac{e}{π}, eπ)$ ，当 $x = x_{0}$ 时， $f (x) = g (x)$ C、 $\forall x \in (\frac{e}{π}, eπ), f (x) < g (x)$ D、 $\exists x_{0} \in (e^{2 π}, + \infty)$ ，当 $x > x_{0}$ 时， $f (x) < g (x)$

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18、下列命题中，错误的是（）

A、函数 $y = x + \frac{1}{x - 1} (x < 1)$ 的最大值为 $- 1$ B、“ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的充分不必要条件 C、“ $x = 1$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个实数根”的充要条件是“ $a + b + c = 0$ ” D、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $c_{1}$ ， $c_{2}$ 都不为0，不等式 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} > 0$ 的解集为 $M$ ，不等式 $a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} > 0$ 的解集为 $N$ ，则“ $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ”是“ $M = N$ ”的充要条件

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19、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点D是BC的中点， $A B = A A_{1} = 4$ ．

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(3)、求点 $B$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离．

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20、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a - b}{c - b} = \frac{\sin C}{sin A + sin B}$

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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