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相关试卷

1、已知实数 $a \geq 0$ ，函数 $f (x) = \frac{ln (1 + x)}{x} - \frac{1}{1 + a x}$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，试比较 $f (1)$ 和 $f^{'} (1)$ 的大小，并说明理由：

(2)、若 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} = \frac{1}{S_{n} + S_{n - 1} + 2} (n \geq 2)$ ，且 $a_{1} = \sqrt{2} - 1$ ，求证： $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{n}^{2} < \frac{ln \sqrt{n + 1}}{2}$ ．

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2、已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且经过点 $R (- \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $M$ 的方程；

(2)、设椭圆 $M$ 的左，右顶点分别为 $A, B$ ，过 $x$ 轴上的一点 $T (t, 0) (t \neq \pm 2)$ 作直线 $l$ 交椭圆 $M$ 于 $P, Q$ 两点（异于点 $A, B$ ）.设直线 $A P$ 斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A Q$ 斜率为 $k_{2}$ .
（i）求 $k_{1} \cdot k_{2}$ （用 $t$ 表示）；
（ii）若 $k_{1} \cdot k_{2} = \frac{1}{20}$ ， $△ A P Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B P Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $|S_{1} - S_{2}|$ 的最大值.

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、设 $P A = P C, A B = 2, ∠ A B C = \frac{π}{3}, M, N$ 在线段 $P A$ 和 $P C$ 上，且 $M$ 为 $P A$ 中点， $P C = 3 N C$ ，若直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，
（i）求平面 $M N D$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值；
（ii）平面 $M N D$ 交直线 $P B$ 于点 $Q$ ，设 $\vec{P Q} = λ \vec{P B}$ ，求 $λ$ 的值.

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4、甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响.

(1)、若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率；

(2)、若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了 $X$ 局，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $b cos C + c cos B = 2 a cos C$ ， $sin C = \frac{\sqrt{6}}{2} sin B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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6、若 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = sin x + sin \frac{1}{x}$ 的一个零点，且 $x_{0} > 1$ ，则 $x_{0}$ 的最小值为.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前100项和为.

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8、 $(2 - x) {(1 - x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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9、如图，圆 $F_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $F_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ ，动圆 $P$ 与圆 $F_{1}$ 外切于点 $M$ ，与圆 $F_{2}$ 内切于点 $N$ ，记圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，若直线 $l : y = k x$ 与曲线 $C$ 交于 $S, T$ 两点，则下面说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \neq - 2)$ B、 $∠ M P N$ 的最小值为 $120^{\circ}$ C、 $\vec{M P} \cdot \vec{P F_{1}} + \vec{N P} \cdot \vec{P F_{2}} \leq \frac{1}{2}$ D、当直线 $P S, P T$ 斜率都存在时， $k_{P S} \cdot k_{P T} = - \frac{4}{3}$

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10、（多选）某企业2024年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示．
已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）

A、该企业2024年1月至6月的总利润低于2024年7月至12月的总利润 B、该企业2024年第一季度的利润约是60万元 C、该企业2024年4月至7月的月利润持续增长 D、该企业2024年11月份的月利润最大

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11、已知函数 $g (x)$ 的定义域为 $R$ .若 $g (x - 1)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称，且 $g (x) - g (- x - 1) = g (1 - x)$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $g (x) = g (2 + x)$ B、 $g (x)$ 关于直线 $x = \frac{3}{4}$ 对称 C、 $\sum_{n = 1}^{2026} g (n) = 0$ D、 $\sum_{n = 1}^{2024} g (n) = 0$

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12、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 和直线 $l : 3 x + 4 y - 25 = 0$ ，若圆 $C$ 上存在三点到直线 $l$ 的距离成公比为2的等比数列，则 $r$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为 $\sqrt{3}$ ，则该几何体外接球的表面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $\frac{28 π}{3}$ C、 $\frac{28 \sqrt{21 π}}{27}$ D、 $11 π$

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14、已知向量 $\vec{a} = (- 2, m), \vec{b} = (1, 1)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、-2 B、0 C、2 D、4

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15、在复平面内，若 $z \cdot (3 - 4 i) = 1 + 2 i$ ，则 $z$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、已知集合 $A = {x ∣ 3 < x < 5}, B = \{x ∣ |x - 3| \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2, 3)$ B、 $(3, 4]$ C、 $[2, 5)$ D、 $[4, 5)$

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17、已知 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ，设 $y = f (x)$ 与 $y = x - n - 1 (n \in N^{*})$ 的图象位于第一象限的交点为 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、证明： $n + 1 < x_{n} < n + 1 + \frac{1}{n}$ ；

(3)、证明： $x_{n + 1} - x_{n} > \frac{e}{e + 1}$ ．

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18、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $Γ$ 上的点到其中一个焦点的距离的最小值为 $2 - \sqrt{3}$ ，过点 $G (1, 0)$ 的直线交椭圆于 $C, D$ 两点，直线 $C B, D B$ 分别交直线 $l : x = 4$ 于点 $M, N$ ．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、证明： $A, D, M$ 三点共线；

(3)、试问以 $M N$ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D, A B // D C, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A D = D C = 2 A B = 2$ ．过点A作平面 $α$ 与棱 $P B, P C, P D$ 交于点 $E, F, G$ ，其中 $\frac{P E}{P B} = \frac{2}{3}$ ，且点G为 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $A G //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求 $\frac{P F}{P C}$ 的值；

(3)、求平面 $α$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值．

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20、某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响．

(1)、若一粒种子种植成功的概率为 $\frac{1}{2}$ ，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为 $\frac{1}{4}$ ，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为 $ζ$ ，求 $E (ζ)$ ；

(2)、播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求 $X = 5$ 的概率P，并求P的最大值．

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