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相关试卷

1、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，任何一个平面的方程都能表示成 $A x + B y + C z + D = 0$ ，其中 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D \in R$ ， $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$ ，且 $\vec{n} = (A, B, C)$ 为该平面的法向量.已知集合 $P = \{(x, y, z) || x |\leq 1,| y |\leq 1,| z ∣ \leq 1\}$ ， $Q = \{(x, y, z) || x |+| y |+| z ∣ \leq 2\}$ ， $T = \{(x, y, z) || x |+| y |\leq 2,| y |+| z |\leq 2,| z |+| x ∣ \leq 2\}$ .

(1)、设集合 $M = \{(x, y, z) ∣ z = 0\}$ ，记 $P \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_{1}$ ， $Q \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的值；

(2)、记集合 $Q$ 中所有点构成的几何体的体积为 $V_{1}$ ， $P \cap Q$ 中所有点构成的几何体的体积为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 的值：

(3)、记集合 $T$ 中所有点构成的几何体为 $W$ .
①求 $W$ 的体积 $V_{3}$ 的值；
②求 $W$ 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出 $W$ 的面数和棱数.

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - ln (x + m)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $m \leq 2$ 时，求证： $f (x) > 0$ .

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3、设 $f (α) = \sin^{x} α + \cos^{x} α, x \in \{n| n = 2 k, k \in N_{+}\}$ ，当 $x = 4$ 时， $f (α)$ 的取值范围是；当x取一般值时 $f (α)$ 的取值范围是．

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4、如图，已知定点 $B (1, - \sqrt{3})$ ， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $M$ 是线段 $O B$ 上任意一点， $M D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $M E ⊥ B C$ 于点 $E$ ． $O E$ 与 $M D$ 相交于点 $P$ ，则 $P$ 的轨迹方程为．

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5、如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 $t s$ 时相对于平衡位置的高度 $h ($ 单位： $cm)$ 由关系式 $h = 2 sin (t + \frac{π}{4})$ 确定以 $t$ 为横坐标， $h$ 为纵坐标，下列说法正确的是（）

A、小球在开始振动 $($ 即 $t = 0)$ 时的位置在 $(0, \sqrt{2})$ B、小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 $2$ $cm$ C、小球往复运动一次所需时间为 $2 πs$ D、每秒钟小球能往复振动 $\frac{1}{π}$ 次

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6、小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（）同学不用上台表演.

A、小吴：平均数为 $3$ ，中位数为 $2$ B、小温：中位数为 $3$ ，众数为 $2$ C、小蔡：平均数为 $2$ ，方差为 $2.4$ D、小龙：中位数为 $3$ ，方差为 $2.8$

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7、今天是星期四，再过 $10^{100}$ 天是星期几（）

A、星期天 B、星期一 C、星期二 D、星期三

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8、已知 $A (- 2, - 2), B (- 2, 6), C (4, - 2)$ 三点，点P在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，则 $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2}$ 的最大值是（）

A、144 B、88 C、72 D、32

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9、已知数列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{8}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{8} = 12$ ，设 $m = a_{k + 1} - a_{k} (1 \leq k \leq 7, k \in N^{*})$ ，若 $m = 1$ 或2，则满足条件的不同数列的个数为（）

A、7 B、21 C、35 D、70

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x}, & x \leq 0 \\ \frac{x}{1 + i}, & x > 0 \end{matrix}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、 $\frac{1}{4} - \frac{1}{4} i$ B、 $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n + 4$ ，则数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 的公比是（）

A、2 B、6 C、8 D、16

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12、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，公差 $d \neq 0$ ， $\{a_{n}\}$ 中的部分项 $a_{k_{1}}, a_{k_{2}}, \dots \dots, a_{k_{n}}$ 恰为等比数列，且公比为 $q$ ，若 $k_{1} = 1$ ， $k_{2} = 6$ ， $k_{3} = 16$

(1)、求 $q$ ；

(2)、求数列 $\{k_{n}\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项之和.

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13、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，由 $C$ 的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $N (0, 3)$ ，过点 $M (0, 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同两点 $A$ ， $B$ ．证明： $k_{N A} + k_{N B} = 0$ ．

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14、已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ，且长轴长为 $2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过椭圆 $C$ 的右焦点 $F (1, 0)$ 作倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ ，直线 $l$ 与椭圆相交于 $M$ ， $N$ 两点，求线段 $M N$ 的长．

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15、在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 、 $\frac{4}{5}$ 、 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{1}{3}$ ，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和期望．

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16、若函数 $y = \frac{a^{x} + 1}{2^{x}}$ 为偶函数，则正实数 $a$ 的值为．

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17、 ${(x^{2} - 2 x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{6}$ 的系数是.（用数字作答）

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18、互不相等的一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 成等差数列，公差为 $d$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的平均数等于 $x_{1}, x_{3}, x_{5}$ 的平均数 B、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的上四分位数和下四分位数之差为 $2 d$ C、从 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 这5个数中任选3个数，这3个数成等差数列的概率为 $\frac{2}{5}$ D、若 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的标准差为2，可得 $d = \sqrt{2}$

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19、下列说法正确的是（）

A、若定点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 满足 $| F_{1} F_{2} | = 8$ ，动点P满足 $|P F_{1} |+| P F_{2}| = 8$ ，则动点P的轨迹是椭圆 B、若定点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 满足 $|F_{1} F_{2}| = 8$ ，动点M满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 10$ ，则动点M的轨迹是椭圆 C、当 $1 < k < 4$ 时，方程 $\frac{x^{2}}{4 - k} + \frac{y^{2}}{k - 1} = 1$ 表示椭圆 D、若动点M的轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 $(\pm \sqrt{2}, 0)$

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20、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点， $P$ 是椭圆 $C$ 上一点．若 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}, |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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