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相关试卷

1、已知 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，对任意 $x, y \in R$ 都有 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 2$ ．当 $x < 0$ 时， $f (x) > 2$ ，且 $f (- 2) = 3$ ．

(1)、求 $f (2)$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明；

(3)、若对 $\forall x \in [- 3, 3], \forall m \in[5, 7]$ ，都有 $2 f (x) - f [t^{2} + t^{- 2} - m (t + t^{- 1})] \leq 1$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2}{e^{x} + 1}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性，并说明理由；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并用定义证明；

(3)、若不等式 $f (2^{x} - m) + f (3 - 4^{x}) < 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 1) x + a$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $a \in R$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(3)、若 $f (x) + 2 x \geq 0$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、计算下列各式的值：

(1)、 $27^{\frac{1}{3}} - \sqrt{0.25} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - {(\frac{1}{6})}^{0}$ ；

(2)、 $\log_{3} \sqrt[4]{27} + \lg 25 + \lg 4 - 7^{\log_{7} 2}$ .

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5、函数 $f (x) = 2 \log_{a} (4 x + 1) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）图象恒过的定点坐标为

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (\frac{1}{2}) \neq 0 ，$ 若 $f (x + y) + f (x) f (y) = 4 x y$ ，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (\frac{1}{2}) = 1$ C、函数 $f (x - \frac{1}{2})$ 是偶函数 D、函数 $f (x + \frac{1}{2})$ 是减函数

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7、下列说法正确的是（）

A、“ $\forall x \in R ， |x| + 1 \geq 1$ ” 是真命题. B、“有些平行四边形是菱形” 是真命题. C、命题 $p : \exists x > 2, x^{2} - 3 x - 4 < 0$ 的否定为 “ $\forall x \leq 2 ， x^{2} - 3 x - 4 \geq 0$ ” D、若函数 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 0]$

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8、17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知 $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $1 g 3 \approx 0.4771$ ，设 $N = 4^{5} \times 27^{10}$ ，则 $N$ 所在的区间为（）

A、 $(10^{15}, 10^{16})$ B、 $(10^{16}, 10^{17})$ C、 $(10^{17}, 10^{18})$ D、 $(10^{18}, 10^{19})$

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9、已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = 2^{x} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}$ B、 $f (x) = 2^{x} \cdot |x|$ C、 $f (x) = x (|x| - 1)$ D、 $f (x) = x \cdot 2^{1 - x^{2}}$

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10、荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知集合 $A = \{x |- 2 < x < 1\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 2 < x < 2\}$ B、 $\{x |- 1 \leq x < 1\}$ C、 $\{x |- 1 \leq x \leq 1\}$ D、 $\{x |- 1 \leq x < 2\}$

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12、已知椭圆M： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.

(1)、求椭圆M的方程；

(2)、若直线l与椭圆M交于C，D两点，点 $P (2, 0)$ ，记直线PC的斜率为 $k_{1}$ ，直线PD的斜率为 $k_{2}$ ，当 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = 1$ 时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高，以 $A D$ 为折痕，将 $△ A C D$ 折至 $△ A P D$ 的位置，使得 $P B ⊥ A B$ .

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、若 $A D = P B = 4$ ， $B D = 2$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值.

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14、已知双曲线E的标准方程为： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (b > 0)$ ，左右焦点分别是 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ， $F_{2}$ 到双曲线渐近线的距离是1.

(1)、求双曲线E的标准方程；

(2)、若斜率为1的直线 $l$ 过点 $F_{2}$ 与双曲线E交于A､B两点，求 $△ A B F_{1}$ 的面积.

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15、已知点 $M (0, 3), N (- 4, 0)$ 及点 $P (- 2, 4)$ ；

(1)、若直线 $l$ 经过点 $P$ 且 $l / / M N$ ，求直线 $l$ 的一般式方程；

(2)、求证： $△ P M N$ 是直角三角形.

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16、若 $a > 1$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ 的离心率 $e$ 的取值范围是．

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17、已知某光源从点 $A (- 1, 2)$ 出发射到 $x$ 轴上点 $P$ 后反射，反射光线经过点 $B (5, 6)$ ，则 $|P A| + |P B|$ 的值是.

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18、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 内一点 $M (1, 2)$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ B、椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、直线 $l$ 的方程为 $2 x + y - 4 = 0$ D、直线 $l$ 的方程为 $x + y - 3 = 0$

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19、点 $P$ 在圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $Q$ 在圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$ 上， $M (4, - 2)$ 为圆 $C_{2} 内一点，$ 则下列结论中正确的是（）

A、圆心距 $| C_{1} C_{2} | = 5$ B、 $| P Q |$ 的最小值为2 C、 $| P Q |$ 的最大值为9 D、圆 $C_{2}$ 经过点 $M$ 的最短弦的长为4

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20、已知直线 $l$ 的斜率是-2，且 $l$ 经过点 $(- 2, 1)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{u} = (- 2, 1)$ B、 $l$ 与直线 $2 x + y - 5 = 0$ 平行 C、 $l$ 与直线 $x - 2 y + 2 = 0$ 垂直 D、 $l$ 在 $y$ 轴上的截距等于 $- 3$

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