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相关试卷

1、对于无穷数列 $\{x_{n}\}$ 和函数 $f (x)$ ，若 $x_{n + 1} = f (x_{n}) (n \in N^{*})$ ，则称 $f (x)$ 是数列 $\{x_{n}\}$ 的生成函数.

(1)、定义在 $R$ 上的函数 $g (x)$ 满足：对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $g (2^{n + 1}) = 2 g (2^{n}) + 2^{n}$ ，且 $g (2) = 1$ ；又数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = g (2^{n})$ .
（Ⅰ）求证： $f (x) = x + \frac{1}{2}$ 是数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的生成函数；
（Ⅱ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

(2)、已知 $f (x) = \frac{2025 x + 2}{x + 2026}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的生成函数，且 $b_{}_{1} = 2$ .若数列 $\{\frac{b_{n} - 1}{b_{n} + 2}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $25 (1 - {0.99}^{n}) < T_{n} < 250 (1 - {0.999}^{n})$ （ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ）.

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2、设函数 $f (x) = a x - \ln x + 1, a \in R$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、是否存在实数a，当 $x \in (0, e]$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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3、若函数 $f (x) = e^{x} + (a + 1) x + b$ （其中 $a > 0$ ），方程 $f (f (x)) = x$ 在 $[- 1, 2]$ 上有解，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为.

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4、在 $△ A B C$ 中，点 $D, E$ 分别在边 $B C, A C$ 上， $D C = D B, B E ⊥ A C$ ，且 $A D = B E = 2, ∠ C D A = \frac{π}{3}$ ，则 $B C =$ .

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5、某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，则至少选到1名女生的概率.

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6、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，过x轴下方一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作抛物线C的两条切线，切点为A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点，则下列结论中正确的是（）

A、当点P的坐标为 $(0, - 1)$ 时，则直线AB方程为 $y = 1$ B、若直线AB过点F，则四边形PMFN为矩形 C、当 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - 2 y_{0} - 8 = 0$ 时， $|A F| \cdot |B F| = 3$ D、 $|A B| = 4$ 时， $△ P A B$ 面积的最大值为4

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7、某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（）

A、事件A和事件B是对立事件 B、事件A和事件C是对立事件 C、 $P (B \cup C) = P (C)$ D、 $P (B C) = P (C)$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x {(x + 3)}^{2}, (x \leq 0) \\ |\ln x|, (x > 0) \end{array}$ ， $f (x) = k$ 有5个不相等的实数根，从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ ，则 $\frac{x_{1} x_{2} x_{3}}{x_{4} x_{5}}$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 4)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(- 4, 0)$

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9、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，过左焦点 $F$ 作斜率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 的直线 $l$ ，若直线 $l$ 与以 $O B$ 为直径的圆相切，则椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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10、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{b} = (2, 0)$ ，若 $(\vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量坐标为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(\sqrt{2}, 0)$ D、 $(0, 2)$

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11、已知复数 $z = \frac{1 + a i}{1 - i}$ ，其中 $a \in R$ ，则“ $|z| > 1$ ”是“ $a > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、在递增的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} a_{3} = 8$ ， $a_{1} + a_{4} = 9$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、3 D、4

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13、若集合 $A = \{x | \frac{x - 2}{x - 3} < 0\}$ ， $B = \{y |y = x^{2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2, 3)$ B、 $[0, 3]$ C、 $[0, 2)$ D、 $(2, 3]$

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14、已知函数 $f (x) = \ln x - m x + 1$ ， $g (x) = x (e^{x} - 2)$ ．
（1）若 $f (x)$ 的最大值是0，求 $m$ 的值；
（2）若对其定义域内任意 $x$ ， $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} + a x (a \in R), g (x) = ln (x + 1)$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) \geq 1 - g (x)$ 对任意的 $x \in [0, + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

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16、已知函数 $f (x) = x \ln x - a x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) \leq x^{2} + 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - 2 x$ 在 $x = 1$ 处取得极值.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 2]$ 的最大值与最小值.

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18、解下列方程.

(1)、若 $3 A_{x}^{3} = 2 A_{x + 1}^{2} + 6 A_{x}^{2}$ ，求 $x$ .

(2)、 $A_{n}^{3} = 16 C_{n}^{2}$

(3)、 $C_{x + 2}^{x - 2} + C_{x + 2}^{x - 3} = \frac{1}{10} A_{x + 3}^{3}$ .

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19、将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有不同的涂色方法.

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20、函数 $f (x) = ln x + a x^{2} - 4 a x$ 的零点个数可能是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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