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相关试卷

1、如图，在Rt $△ P O B$ 中， $∠ P B O = 90 °$ ，以 $O$ 为圆心、 $O B$ 为半径作圆弧交 $O P$ 于 $A$ 点，若圆弧 $A B$ 分 $△ P O B$ 的面积为 $1 : 2$ (扇形部分是2份)，且 $∠ A O B = α$ 弧度，则 $\frac{α}{\tan α} =$ ．

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2、 $\sin (- \frac{π}{6}) - \tan 495^{\circ} =$ .

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3、已知 $a > 0, b > 0$ ，函数 $f (x) = (x - a - b) ln (x - a b + 4)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则（）

A、 $a b$ 的最小值为8； B、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 1}$ 的最小值为2； C、 $a + 2 b$ 的最小值为 $3 + 4 \sqrt{2}$ ； D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} |{log}_{3} x| ， 0 < x \leq 3 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 5 x + \frac{23}{2} ， x > 3 \end{cases}$ ，若 $a < b < c < d$ ， $f (a) = f (b) = f (c) = f (d)$ ，则 $a b (c + d) =$ （）

A、25 B、20 C、10 D、5

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5、设正整数数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 为偶数 \\ a_{n} +3, a_{n} 为奇数 \end{matrix}$ $(n = 1, 2, ......)$ ．

(1)、若 $a_{5} = 1$ ，请写出 $a_{1}$ 所有可能的取值；

(2)、记集合 $M = \{a_{n} | n \in N^{*}\}$ ，证明：若集合 $M$ 存在一个元素是3的倍数，则 $M$ 的所有元素都是3的倍数；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 为周期数列，求 $a_{1}$ 所有可能的取值.

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6、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求证：当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 存在极值；

(3)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, + \infty)$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围.

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7、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 2$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程

(2)、若过椭圆右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A, B$ 两点，求 $| A F_{1} | + |B F_{2}|$ 的取值范围．

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8、某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．
满意度
老年人
中年人
青年人
报团游
自助游
报团游
自助游
报团游
自助游
满意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不满意
1
1
6
2
3
2
（1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记 $X$ 表示这3人中老年人的人数，求 $X$ 的分布列和期望；
（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？

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9、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $A C C_{1} A_{1}$ 均为矩形，点D是棱 $C_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A B_{1} ∥$ 平面 $A_{1} D C$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ．
（Ⅰ）求直线 $A B_{1}$ 到平面 $A_{1} D C$ 的距离；
（Ⅱ）在棱 $C C_{1}$ 上是否存在点M，使得直线 $A M$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，如果存在，求出 $\frac{C M}{C C_{1}}$ 的值，如果不存在，说明理由．

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10、在 $△ A B C$ 中， $a = 1$ ， $c \sin A = \sqrt{3} a \cos C$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断 $△ A B C$ 是否存在，若不存在，说明理由；若存在，求出 $△ A B C$ 的面积.条件①： $\cos A \cos C = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ；条件②： $b^{2} - c^{2} = a c$ ；条件③： $a, b, c$ 成等差数列.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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11、斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓（yùn）都”或“潮（qiàn）堵”：其上底是一矩形，下底是一线段.有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤（mào）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是.

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12、将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数g（x）的图象，g（x）=；若g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），m的最大值为.

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13、 ${(x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是.

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14、已知M为 $△ A B C$ 所在平面内的一点， $| \vec{M B} | = | \vec{M C} | = 1$ ，且 $\vec{A B} = \vec{M B} + \vec{M C}, \vec{M B} \cdot \vec{M C} = - \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*}), S_{n}$ 为其前n项和.若 $a_{2} = 2$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、20 B、30 C、31 D、62

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16、已知直线 $l : a x + b y = 1$ 是圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ 的一条对称轴，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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17、已知 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $a > b$ ，则

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\sin a > \sin b$ C、 ${(\frac{1}{3})}^{a} < {(\frac{1}{3})}^{b}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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18、已知复数 $z = \frac{1 - i}{2 i}$ （其中i是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

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19、如图1，圆C： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $A (1, 0)$ ， P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.

(1)、求轨迹E的方程；

(2)、过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点 $B (2, 0)$ ，记直线BM，BN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；

(3)、过点 $(0, 2)$ 作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点 $R (0, \sqrt{3})$ ， $S (0, - \sqrt{3})$ ，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上.

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20、平面内沿着等腰直角 $△ A B C$ 的腰AC作底角 $∠ C A D = 30 °$ 的等腰 $△ A C D$ ， $A C = 2$ ，如图1.将 $△ A C D$ 沿AC翻折至 $△ A C K$ ，如图2.

(1)、当平面 $K A C ⊥$ 平面ABC时，
（ⅰ）证明： $K C ⊥ A B$ ；
（ⅱ）若G是 $△ A C K$ 的重心，求BG与平面ABC所成角的正弦值.

(2)、求二面角 $A - C K - B$ 的余弦值的最小值.

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满意度	老年人		中年人		青年人
满意度	报团游	自助游	报团游	自助游	报团游	自助游
满意	12	1	18	4	15	6
一般	2	1	6	4	4	12
不满意	1	1	6	2	3	2