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相关试卷

1、如图，在棱长为2的正四面体 $O - A B C$ 中，已知 $E$ 是线段 $B C$ 的中点，点 $G$ 在线段 $A E$ 上，且 $A G = 2 G E$ .

(1)、用向量 $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}$ 表示 $\vec{O G}$ ；

(2)、求 $|\vec{O G}|$ ；

(3)、求向量 $\vec{O E}$ 与 $\vec{A B}$ 夹角的余弦值.

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2、古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 1, 0), B (1, 0)$ ．点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ，则 $P$ 点所在的曲线 $E$ 所对应的阿波罗尼斯圆方程为，若点 $Q (- 3, 1)$ ，则 $2 | P A | + | P Q |$ 的最小值为．

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3、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是空间的一组单位正交基底，向量 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{c}$ 是空间的另一组基底，若向量 $\vec{p}$ 在基底 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 下的坐标为 $(2, 1, 3)$ ， $\vec{p}$ 在基底 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{c}$ 下的坐标为 $(x, y, z)$ ，则 $x - y + z =$ ．

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4、如图，已知正方体ABCD— $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有（）

A、三棱锥 $B_{1}$ - $A_{1} D_{1} P$ 的体积为定值 B、存在点P，使得 $D_{1} P ⊥ A D_{1}$ C、若 $D_{1} P ⊥ B_{1} D$ ，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC D、若点P是AD的中点，点Q是 $B B_{1}$ 的中点，过P，Q作平面α垂直于平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，则平面α截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D$ 的截面周长为3 $\sqrt{2}$

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5、若平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1, 2, 2), A (1, 0, 2), B (0, - 1, 4), A \notin α,$ $B \in α$ ，则点 $A$ 到平面 $α$ 的距离为

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6、设直线 $l ： \sqrt{3} x + y + b = 0$ 的倾斜角为 $α$ ，则 $α =$ （　　）

A、150° B、120° C、60° D、30°

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7、某单位有职工 $500$ 人，其中男性职工有 $320$ 人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取 $100$ 人进行调查，则抽取到的女性职工的人数为（）

A、 $28$ B、 $52$ C、 $64$ D、 $36$

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8、已知集合 $A = {x ∣ x + 3 \leq 0}, B = {x ∣ m - 1 \leq x \leq m + 2}$ .

(1)、若 $m = - 4$ ，求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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9、已知集合A满足 ${2, 5} \subseteq A$  ${1, 2, 4, 5, 7}$ ，则集合A可以是（）

A、 ${2, 5}$ B、 ${1, 2, 5}$ C、 ${1, 2, 4}$ D、 ${1, 2, 4, 5, 7}$

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10、已知 $a = {0.1}^{- 0.1}$ ， $b = {0.1}^{- 0.01}$ ， $c = 10^{- 0.1}$ ，则下列正确的是（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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11、设命题甲： $|x - 1| > 2$ ，命题乙： $x > 3$ ，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 3} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域是（）

A、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, 2)$ C、 $(\frac{3}{2}, 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $[\frac{3}{2}, 2) \cup (2, + \infty)$

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13、如图所示的几何体 ABCDE 中，DA⊥平面 EAB ，AB=AD=AE=2BC=2， $C B / / D A, E A ⊥ A B,$ M是EC上的点(不与端点重合)，F 为AD上的点，N 为BE的中点.

(1)、若M 为CE的中点， $A F = 3 F D .$
(i) 求证： $F N / /$ 平面 $M B D$ ；
(ii) 求点F 到平面MBD的距离.

(2)、若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 $\frac{1}{3},$ 试确定点M在EC上的位置.

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14、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $4 \sqrt{3}$ ， $P (2, \sqrt{2})$ 是 $E$ 上一点.

(1)、求E的方程；

(2)、若 $A, B$ 是 $E$ 上两点，且线段 $A B$ 的中点坐标为 $(- \frac{8}{5}, \frac{2}{5})$ ，求 $|A B|$ 的值.

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15、已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ 和圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ ．

(1)、若直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，求弦 $A B$ 的长；

(2)、求过点 $(4, - 1)$ 且与圆 $C$ 相切的直线方程．

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16、已知 $M$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）

A、椭圆的焦距为2 B、椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $|M F_{1}| + |M F_{2}| = 2 \sqrt{2}$ D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值是4

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17、已知圆 $C : x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ ，则（）

A、点 $(1, - 2)$ 在圆 $C$ 的内部 B、圆 $C$ 的直径为2 C、过点 $(2, - 3)$ 的切线方程为 $x = 2$ D、直线 $y = x$ 与圆 $C$ 相离

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18、古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点 $O (0, 0)$ ， $A (3, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $\frac{|P O|}{|P A|} = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的公切线的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为1的正方形，若 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，且 $A A_{1} = 1$ ，则 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{15}$

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20、圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 3 = 0$ 的圆心和半径长分别为（　　）

A、 $(4, - 6)$ ， 16 B、 $(2, - 3)$ ， 4 C、 $(- 2, 3)$ ， 4 D、 $(2, - 3)$ ， 16

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