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相关试卷

1、人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有 $3$ 种.设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，则欧几里得距离 $D (A, B) = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ；曼哈顿距离 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ，余弦距离 $e (A, B) = 1 - \cos (A, B)$ ，其中 $\cos (A, B) = \cos 〈 \vec{O A}, \vec{O B} 〉$ （ $O$ 为坐标原点）.

(1)、若 $A (1, 2), B (3, 4)$ ，求 $A, B$ 之间的曼哈顿距离 $d (A, B)$ 和余弦距离 $e (A, B)$ ；

(2)、若点 $M (3, 0), d (M, N) = 2$ ，求 $e (M, N)$ 的最大值；

(3)、已知点 $P$ ， $Q$ 是直线 $l : y - 1 = k (x - 1)$ 上的两动点，问是否存在直线 $l$ 使得 $d {(O, P)}_{\min} = D {(O, Q)}_{\min}$ ，若存在，求出所有满足条件的直线 $l$ 的方程，若不存在，请说明理由.

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2、已知O为坐标原点，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $P Q$ 交椭圆 $C$ 于P，Q两点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、记以 $O P, O Q$ 为直径的圆的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, △ O P Q$ 的面积为S，求 $S (S_{1} + S_{2})$ 的最大值.

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3、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，圆 $C$ 经过点 $M (1, 1)$ 和点 $N (4, 2)$ ，且圆心在直线 $2 x + 3 y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $x = t y + 3$ 被圆 $C$ 截得弦长为 $2 \sqrt{17}$ ，求实数 $t$ 的值.

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4、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, 0), \vec{b} = (- 1, 0, 2), \vec{c} = (1, \frac{4}{k}, 2)$ 且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 互相平行，则实数 $k$ 的值.

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5、已知直线 $l : (2 - m) x + (2 m + 1) y + 3 m + 4 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 1, 2)$ B、直线 $l$ 与直线 $x - y = 0$ 垂直，则 $m = \frac{1}{3}$ C、当点 $Q (3, 4)$ 到直线 $l$ 的距离取到最大时，此时 $m = \frac{4}{7}$ D、直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y + 16 = 0$ 所截得的最短弦长为1

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6、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别在线段 $A D_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 上（含端点），则下列命题正确的是（）

A、 $M N$ 长的最小值为 $1$ B、三棱锥 $M - B N C$ 的体积为定值 C、有且仅有一条直线 $M N$ 与 $A D_{1}$ 垂直 D、当点 $M$ 、 $N$ 为线段中点时，则 $△ M B N$ 为等腰三角形

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7、已知 $F$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的右焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点， $Q$ 为圆 $M : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上一点，则 $| P Q | - | P F |$ 的最小值为（）

A、－5 B、－4 C、－3 D、－2

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8、过点 $(3, 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ 相切的两条直线的夹角为 $θ$ ，则 $\sin θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{11}{13}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{13}$

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9、在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = 3 \vec{M A}, N$ 为 $B C$ 的点，且 $\vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$

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10、已知圆的标准方程为 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ ，则圆心坐标为（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(- 2, - 1)$

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11、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = A B = A A_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} A C$ ， $M$ 是 $B_{1} C_{1}$ 中点， $N$ 是 $A C$ 中点．

(1)、证明：直线 $M N / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、证明：直线 $M N ⊥ B C$ ；

(3)、求平面 $M N A$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的余弦值．

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12、已知点 $P (2, \frac{3}{2})$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 1 = 0$ ．

(1)、求圆 $C$ 过点 $P$ 的最短弦所在的直线方程；

(2)、若圆 $C$ 与直线 $x - y + a = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为原点，且 $O A ⊥ O B$ ，求 $a$ 的值．

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13、已知直线 $l_{1}$ ： $x + 3 y + 5 = 0$ ， $l_{2}$ 经过点 $M (3, 1)$ ．

(1)、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、在（1）的条件下，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离；

(3)、若 $l_{2}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|M A| \cdot |M B|$ 的最小值．

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14、已知空间三点 $A (- 2, 0, 1)$ ， $B (- 1, 0, 1)$ ， $C (- 3, 1, 2)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的值；

(2)、若向量 $(\vec{a} + k \vec{b})$ 与 $(\vec{a} - k \vec{b})$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值.

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15、点 $N$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 上， $F$ 是椭圆的一个焦点， $M$ 为 $N F$ 的中点，若 $|O M| = 4$ ，则 $|N F| =$ ．

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16、直线 $2 x + 2 y - 3 = 0$ 的倾斜角为．

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17、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1} = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $B F ⊥ D E$ B、该三棱柱的体积为4 C、直线 $D E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $E$ 三点截该三棱柱的截面面积为 $\sqrt{5}$

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18、已知直线 $l$ ： $\sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $(1, 0)$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{3}$ B、直线 $l$ 的截距式方程为 $\frac{x}{1} + \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ C、直线 $l$ 的一个方向向量为 $(1, - \sqrt{3})$ D、若直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，则 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、已知圆 $O_{1}$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 与圆 $O_{2}$ ： ${(x + 2 a)}^{2} + y^{2} = 9$ 有两条公切线，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ B、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ C、 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{6}}{3}, + \infty)$ D、 $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$

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20、如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，已知 $E$ 是 $B C$ 上靠近 $C$ 的三等分点， $F$ 是 $A E$ 的中点，则 $\vec{O F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O A} - \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{O A} - \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$

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