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相关试卷

1、我校对 $2021$ 年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取 $100$ 名学生，将分数按照 $[30, 50)$ ， $[50, 70)$ ， $[70, 90)$ ， $[90, 110)$ ， $[110, 130)$ ， $[130, 150]$ 分成 $6$ 组，制成了如图所示的频率分布直方图：

(1)、估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分；

(2)、为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在 $[50, 70)$ 和 $[70, 90)$ 的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 $5$ 名学生，再从这 $5$ 名学生中随机抽取 $2$ 名学生进行问卷调查，求抽取的这 $2$ 名学生至少有 $1$ 人成绩在 $[50, 70)$ 内的概率．

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2、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3 x - 1, x < 1 \\ 2^{x}, x \geq 1 \end{cases}$ ，则满足 $f (f (a)) = 2^{f (a)}$ 的实数 $a$ 取值范围是.

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3、下列命题中错误的是（）．

A、 $y = | \cos (2 x + \frac{π}{6}) |$ 最小正周期为 $π$ ； B、函数 $y = \tan \frac{x}{2}$ 的图象的对称中心是 $(k π, 0), k \in Z$ ； C、 $f (x) = \tan x - \sin x$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上有3个零点； D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$

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4、以下四个命题中正确的是（）

A、空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间向量的一组基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 构成空间向量的另一组基底 C、对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - 2 \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点共面 D、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，即它们所在的直线共面

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5、已知 $A (1, - 2)$ ， $B (2, 1)$ ，若直线 $l$ 恒过点 $(0, - 1)$ 且与线段 $A B$ 相交，则直线 $l$ 的斜率取值可能是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $0$ D、 $2$

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6、有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数 $(x, y)$ 表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形.如图，在△ABC中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算 $\cos ∠ M P N$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{15}$ D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{15}$

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7、已知 $\vec{a} = (1, 2, 0), \vec{b} = (- 2, 0, 1)$ ，若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} + 3 \vec{b}$ 平行，则 $k =$ （）．

A、2 B、1 C、6 D、3

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8、设i为虚数单位，则复数 $\frac{1 - i}{2 + i} =$ （）．

A、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$

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9、若集合 $M = {x | x^{2} > 4}$ ， $N = {x | 1 < x \leq 3}$ ，则 $N \cap (∁_{R} M) =$ （）．

A、 ${x | 1 < x \leq 2}$ B、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | - 2 \leq x < 1}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 3}$

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10、已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1} :$ $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $Α$ ， $Β$ ．
（1）求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 $Α Β$ 的中点 $Μ$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L:$ $y = k (x - 4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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11、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为1的正方形， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ， $A_{1} A = 2$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， M为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、用空间的一个基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 表示 $\vec{D M}$ ， $\vec{A_{1} C}$ ；

(2)、求 $|\vec{D M}|$ ， $|\vec{A_{1} C}|$ ，异面直线DM与 $A_{1} C$ 所成角的余弦值.

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12、已知直线 $l : y = k x$ 被圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为2，则 $|k|$ 的值为.

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13、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $M : x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 4 = 0$ 相交于 $A, B$ 两点，下列说法正确的为（）

A、两圆外切 B、两圆有两条公切线 C、直线 $A B$ 的方程为 $y = 2 x + 2$ D、线段 $A B$ 的长为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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14、已知点 $A (2, - 3)$ ， $B (- 3, - 2)$ ，若过点 $(1, 1)$ 的直线与线段 $A B$ 相交，则该直线斜率的取值范围是（　　）

A、 $(- \infty, - \frac{3}{4}) \cup [4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 4] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ C、 $[- \frac{3}{4}, 4]$ D、 $[- 4, \frac{3}{4}]$

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15、在四面体 $A B C D$ 中，点M在线段 $D A$ 上，且 $D M = 2 M A$ ， N为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{D A} - \frac{2}{3} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D B} - \frac{1}{2} \vec{D C}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{D A} + \frac{2}{3} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$

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16、已知直线 $l$ 的倾斜角为 $60 °$ ，方向向量 $\vec{a} = (3, y)$ ．则 $y =$ （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(2 > b^{2} > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、如图，直线 $G H$ 为椭圆 $C$ 与抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的公切线，其中点 $G, H$ 分别在椭圆 $C$ 与抛物线 $C_{1}$ 上，线段 $O H$ 交 $C$ 于点 $N$ ，求 $△ N G H$ 的面积的最小值．

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18、已知圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴上，且经过 $A (- 1, 1)$ 和 $B (1, 3)$ 两点.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (3, 2)$ 的直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为6，求直线 $l$ 的方程.

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19、下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列．记第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $a_{i, j}$ （其中 $i, j \in N_{+}$ ），则 $a_{7, 7} =$ ，数字 $2026$ 在表中总计出现次．
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
$\dots$
$3$
$5$
$7$
$9$
$11$
$13$
$\dots$
$4$
$7$
$10$
$13$
$16$
$19$
$\dots$
$5$
$9$
13
$17$
$21$
$25$
$\dots$
$6$
$11$
$16$
$21$
$26$
$31$
$\dots$
$7$
$13$
$19$
$25$
$31$
$37$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$

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20、已知曲线 $C$ ： $m x^{2} + n y^{2} = 1$ ，则下列命题中，正确的是（）

A、若 $m = n > 0$ ，则曲线 $C$ 表示圆，且半径为 $\sqrt{\frac{1}{m}}$ B、若 $m n < 0$ ，则曲线 $C$ 表示双曲线，且渐近线为 $y = \pm \sqrt{- \frac{n}{m}} x$ C、若 $m = 0$ ， $n > 0$ ，则曲线 $C$ 表示两条直线 D、若 $0 < m < n$ ，则曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆

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$4$	$7$	$10$	$13$	$16$	$19$	$\dots$
$5$	$9$	13	$17$	$21$	$25$	$\dots$
$6$	$11$	$16$	$21$	$26$	$31$	$\dots$
$7$	$13$	$19$	$25$	$31$	$37$	$\dots$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$