相关试卷

1、已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x + 2 |$ ， $g (x) = | x + 1 | - | x - a | + a$ .

(1)、解不等式 $f (x) > 3$ ；

(2)、对于 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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2、已知直线 $l$ ： $ρ sin (θ + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} m$ ，曲线 $C$ ： ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{3} c o s θ \\ y = \sqrt{3} s i n θ \end{matrix}$ .

(1)、求直线 $l$ 的直角坐标方程与曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | \geq 3$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = a (x^{2} - x) - ln x (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $Δ P Q F_{2}$ 的周长为8.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $M (3, 0)$ 的直线交椭圆 $C$ 于不同两点 $A$ ， $B$ . $N$ 为椭圆上一点，且满足 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} = t \overset{⇀}{O N}$ （ $O$ 为坐标原点），当 $| A B | < \sqrt{3}$ 时，求实数 $t$ 的取值范围.

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5、进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”.该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的 $2 \times 2$ 列联表：
赞同限行不赞同限行合计
没有私家车 90 20 110
有私家车 70 40 110
合计 160 60 220
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
$k_{0}$ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

(1)、根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“是否赞同限行与是否拥有私家车”有关；

(2)、为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少抽到1名“没有私家车”人员的概率.

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $P A$ ， $B C$ 的中点，且 $A D = 2 P D = 2$ .

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求点 $N$ 到平面 $P A B$ 的距离.

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7、 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ ，已知 $a^{2} + 4 S = b^{2} + c^{2}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求角 $C$ .

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8、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若对于任意 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，当 $x_{1} + x_{2} = 2 a$ 时，恒有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 2 b$ ，则称点 $(a, b)$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心.研究函数 $f (x) = 2 x + 3 cos (\frac{π}{2} x) - 3$ 的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 $f (\frac{1}{2018}) + f (\frac{2}{2018})$ $+ \cdot \cdot \cdot + f (\frac{4034}{2018}) + f (\frac{4035}{2018})$ 的值为

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9、已知点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $M$ ， $N$ 是该抛物线上两点， $| M F | + | N F | = 6$ ，则线段 $M N$ 的中点的横坐标为

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10、已知点 $A (0, 1)$ ， $B (1, - 2)$ ，向量 $\overset{⇀}{A C} = (4, - 1)$ ，则 $| \overset{⇀}{B C} | =$

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11、已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - y \leq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ x + 2 y \leq 6 \end{matrix}$ ，则 $z = x - y - 1$ 的最小值为

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12、定义域为 $[a, b]$ 的函数 $y = f (x)$ 的图象的两个端点分别为 $A (a, f (a))$ ， $B (b, f (b))$ ， $M (x, y)$ 是 $f (x)$ 图象上任意一点，其中 $x = λ a + (1 - λ) b$ $(0 < λ < 1)$ ，向量 $\overset{⇀}{B N} = λ \overset{⇀}{B A}$ .若不等式 $| \overset{⇀}{M N} | \leq k$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上为“ $k$ 函数”.若函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 在 $[1, 2]$ 上为“ $k$ 函数”，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2} - \sqrt{2}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[\frac{3}{2} + \sqrt{2}, + \infty)$

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13、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{n} = 2 n + λ$ ，若数列 ${S_{n}}$ $(n \geq 5, n \in N^{*})$ 为递增数列，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3, + \infty)$ B、 $(- 10, + \infty)$ C、 $(- 11, + \infty)$ D、 $(- 12, + \infty)$

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14、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 是 $C$ 上一点，若 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 6 a$ ，且 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的最小内角的大小为 $30^{\circ}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程是（）

A、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ B、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ C、 $x \pm 2 y = 0$ D、 $2 x \pm y = 0$

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15、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的三视图如图所示，则四棱锥 $P - A B C D$ 的五个面中面积的最大值是（）

A、3 B、6 C、8 D、10

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16、三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角 $α$ 满足 $sin α + cos α = \frac{7}{5}$ ，现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）

A、 $\frac{1}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $\frac{3}{5}$

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17、函数 $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像与函数 $y = cos (x - \frac{π}{3})$ 的图像（）

A、有相同的对称轴但无相同的对称中心 B、有相同的对称中心但无相同的对称轴 C、既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D、既无相同的对称中心也无相同的对称轴

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18、执行如图所示的程序框图，则输出 $n$ 的值为（）

A、14 B、13 C、12 D、11

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19、已知函数 $f (x) = e^{x}$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线为 $l$ ，动点 $(a, b)$ 在直线 $l$ 上，则 $2^{a} + 2^{- b}$ 的最小值是（）

A、4 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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20、在一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，…， $(x_{n}, y_{n})$ （ $n \geq 2$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ 不全相等）的散点图中，若所有样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ 都在直线 $y = - 3 x + 1$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

A、-3 B、0 C、-1 D、1

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	赞同限行	不赞同限行	合计
没有私家车	90	20	110
有私家车	70	40	110
合计	160	60	220

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828