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相关试卷

1、已知 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，对任意 $x, y \in R$ 都有 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 2$ ．当 $x < 0$ 时， $f (x) > 2$ ，且 $f (- 2) = 3$ ．

(1)、求 $f (2)$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明；

(3)、若对 $\forall x \in [- 3, 3], \forall m \in[5, 7]$ ，都有 $2 f (x) - f [t^{2} + t^{- 2} - m (t + t^{- 1})] \leq 1$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2}{e^{x} + 1}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性，并说明理由；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并用定义证明；

(3)、若不等式 $f (2^{x} - m) + f (3 - 4^{x}) < 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、计算下列各式的值：

(1)、 $27^{\frac{1}{3}} - \sqrt{0.25} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - {(\frac{1}{6})}^{0}$ ；

(2)、 $\log_{3} \sqrt[4]{27} + \lg 25 + \lg 4 - 7^{\log_{7} 2}$ .

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4、函数 $f (x) = 2 \log_{a} (4 x + 1) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）图象恒过的定点坐标为

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5、下列说法正确的是（）

A、“ $\forall x \in R ， |x| + 1 \geq 1$ ” 是真命题. B、“有些平行四边形是菱形” 是真命题. C、命题 $p : \exists x > 2, x^{2} - 3 x - 4 < 0$ 的否定为 “ $\forall x \leq 2 ， x^{2} - 3 x - 4 \geq 0$ ” D、若函数 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 0]$

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6、17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知 $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $1 g 3 \approx 0.4771$ ，设 $N = 4^{5} \times 27^{10}$ ，则 $N$ 所在的区间为（）

A、 $(10^{15}, 10^{16})$ B、 $(10^{16}, 10^{17})$ C、 $(10^{17}, 10^{18})$ D、 $(10^{18}, 10^{19})$

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7、已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = 2^{x} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}$ B、 $f (x) = 2^{x} \cdot |x|$ C、 $f (x) = x (|x| - 1)$ D、 $f (x) = x \cdot 2^{1 - x^{2}}$

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8、荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、如图1所示，在梯形 $A B C D$ 中， $B E ⊥ A D ， B C = 6 ， A D = 12 ， A E = B E = 4$ 把 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起，得到四棱锥 $A - B C D E$ ，如图2所示．

(1)、若 $A D = 4 \sqrt{3}$ ，证明： $A D ⊥$ 平面 $A B E$ ．

(2)、若平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ， $A, B, C, D$ 在同一个球面上，设该球面所在球的球心为O，证明：点O在平面 $B C D E$ 内．

(3)、若平面 $A D E$ 与平面 $A C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ ，求直线 $A B$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值．

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10、某环保组织进行了关于生态文明建设的知识竞赛，随机调查了100名参与者，统计了这100人答对的题数，将统计数据分为 $[0, 20), [20, 40), [40, 60), [60, 80), [80, 100), [100, 120]$ 六个小组，得到的频率分布直方图如图所示，已知答对题数在 $[20, 40)$ 内的人数是答对题数在 $[0, 20)$ 内的人数的5倍．

(1)、求频率分布直方图中a，b的值，并估计这100人答对题数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、设成绩在前 $25 %$ 的答题者被认定为“环保知识小达人”，按是否为“环保知识小达人”用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取2人，求这2人中至少有1人为“环保知识小达人”的概率．

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11、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ 已知 $b = 5, c = 6, 2 b \sin B + 2 c \sin C - 2 a \sin A = 3 b \sin C$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $\cos (B - C)$ ．

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{x} - 1, x \leq 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} x, x > 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (8)) =$

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13、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{2 a + 1} + \frac{4}{1 + 2 b} = 1$ ，若 $a + b > 2 x^{2} - 6 x$ 恒成立，则实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{1}{2} < x < \frac{7}{2}$ B、 $- \frac{7}{2} < x < \frac{1}{2}$ C、 $- 7 < x < 1$ D、 $- 1 < x < 7$

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $[0, + \infty)$ 上单调递减，则不等式 $f (ln x) > f (1)$ 的解集为（）

A、 $\{x | 1 < x < e\}$ B、 ${x | \frac{1}{e} < x < e}$ C、 ${x | x < 1$ 或 $x > e^{2}}$ D、 ${x | x < \frac{1}{e} 或 x > e}$

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15、若抛物线 $C_{1} : y^{2} = 4 x$ 与抛物线 $C_{2}$ 关于直线 $y = x + 1$ 对称，则 $C_{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(- 1, 2)$

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16、已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线C： $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{11} = 1$ 的左、右焦点，P是C上一点，且 $|P F_{1} |= 6| P F_{2}| ，$ 则 $|P F_{2}| =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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17、在复平面内，复数 $(1 - i) (2 - 3 i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、已知 $p : \exists x_{0} \in Z$ ， $e^{x_{0}} - 1 \leq 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in Z$ ， $e^{x} - 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in Z$ ， $e^{x} - 1 > 0$ C、 $\exists x \in Z$ ， $e^{x} - 1 > 0$ D、 $\exists x \notin Z$ ， $e^{x} - 1 \leq 0$

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19、设集合 $A = \{x| - 2 \leq x < 3\}$ ， $B = \{x| - 3 < x \leq 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x| - 3 < x < 3\}$ B、 $\{x| - 2 \leq x \leq 2\}$ C、 $\{x| - 3 \leq x \leq 3\}$ D、 $\{x| - 3 \leq x < 2\}$

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20、记全集 $U = R$ ，已知集合 $A = \{x |a - 1 \leq x \leq a + 5, a \in R\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 3 x - 4 < 0\}$ ．

(1)、若 $a = 3$ ，求 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cup (∁_{U} B) = R$ ，求a的取值范围．

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