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相关试卷

1、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（）

A、甲、乙对立 B、甲、丙互斥 C、甲、乙相互独立 D、乙、丙相互独立

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2、某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位： $cm$ ） $A : x < 155$ ， $B : 155 \leq x < 160$ ， $C : 160 \leq x < 165$ ， $D : 165 \leq x < 170$ ， $E : x \geq 170$ ，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（）

A、身高在 $155 \leq x < 160$ 区间的男生比女生多 $3$ 人 B、B组中男生和女生占比相同 C、超过一半的男生身高在 $165 cm$ 以上 D、女生身高在 $E$ 组的人数有 $2$ 人

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3、据统计，2023年12月成都市某区域一周 $A Q I$ 指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（）

A、45 B、50 C、51 D、53

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4、已知函数 $f (x) = |x + \frac{1}{x}| - |x - \frac{1}{x}|$ .

(1)、指出函数 $f (x)$ 的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $k \cdot f^{2} (x) - 2 k f (x) + 6 (k - 7) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + m \cdot |f (x)| + n = 0 (m, n \in R)$ 恰有 $6$ 个不同的实数解，求实数 $n$ 的取值范围.

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5、大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销 $A, B$ 两种商品，据市场调查统计，当投资额为 $t (t \geq 0)$ 万元时，经销 $A, B$ 商品所获得的收益分别为 $f (t)$ 万元与 $g (t)$ 万元，其中 $f (t) = t + 1$ ， $g (t) = \{\begin{cases} \frac{10 t + 1}{t + 1}, 0 \leq t \leq 5 \\ - \frac{t^{2}}{2} + 6 t - 9, 5 < t \leq 10 \end{cases}$ ，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．

(1)、假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；

(2)、如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．

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6、已知函数 $f (x) = \frac{3 x}{2 x^{2} + 2}$ ， $x \in (- 1, 1)$ ．

(1)、单调性的定义证明 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上是增函数；

(2)、解关于 $t$ 的不等式： $f (t + \frac{1}{2}) < f (\frac{1}{2} - t)$ ．

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7、已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、若不等式 $f (k x^{2}) + f (k x - 1) \geq 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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8、已知定义在 $R$ 上且不恒为0的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y \in R$ ，都有 $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ ，则（）

A、 $f (8) = 12 f (2)$ B、函数 $f (x)$ 是奇函数 C、对 $\forall n \in N^{*}$ ，有 $f (x^{n}) = n f (x)$ D、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (2^{0}) + f (2^{1}) + f (2^{2}) + \dots + f (2^{5}) = 258$

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9、若 $a b > 0, a + 2 b = 6$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a b \leq \frac{9}{2}$ B、 $a^{2} + 4 b^{2} \geq 18$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{4 b^{2}}{2 b + 1}$ 的最小值为 $\frac{7}{3}$

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10、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2024 - a x}}{a - 1}$ 在 $[0, 1]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (1, 2024]$ B、 $(- \infty, 0) \cup (0, 2024]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1)$

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11、已知 $a = {0.6}^{0.7}$ ， $b = {0.7}^{0.6}$ ， $c = {0.7}^{0.7}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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12、函数 $y = x^{\frac{2}{3}}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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13、已知集合 $A = \{12, a^{2} + 4 a, a - 2\}$ ， $- 3 \in A$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、-3或1 C、3 D、-3

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14、设 $y = m x^{2} + (1 - m) x + m - 2$ ．

(1)、若不等式 $y \geq - 2$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，求 $\frac{m^{2} + 2 m + 5}{m + 1}$ 的最小值；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} + (1 - m) x - 1 < 0 (m \in R)$ ．

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15、已知二次函数 $f (x)$ 的图象经过点（2，-6），方程 $f (x) = 0$ 的解集是 ${- 1, 4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) + (3 - 2 m) x$ ，求 $g (x)$ 在 $[- 1, 3]$ 上的最值.

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16、定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (y) = f (\frac{x - y}{1 - x y})$ ，且当 $x \in (- 1, 0)$ 时， $f (x) < 0$ ，则有( )

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、存在非零实数a，b，使得 $f (a) + f (b) = f (\frac{1}{2})$ C、 $f (x)$ 为增函数 D、 $f (\frac{1}{2}) + f (\frac{1}{3}) > f (\frac{5}{6})$

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17、若实数 $m$ ， $n >0$ ，满足 $2 m + n =1$ ，以下选项中正确的有（）

A、 $m n$ 的最小值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{n}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为 $1+2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{m +1} + \frac{6}{n +2}$ 的最小值为 $\frac{24}{5}$ D、 $4 m^{2} + n^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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18、计算 ${(\frac{9}{4})}^{- \frac{1}{2}} =$ （）

A、 $\frac{81}{16}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{2}{3}$

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19、设 $a$ 为实数，已知 $y = a x^{2} + a x - 2$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + a x - 2 < - 4 x$ 的解集为 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$ ，求 $a$ ；

(2)、若对任意 $x \in R, y < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若对任意 $x_{1} \in [1, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $a x_{1}^{2} + a x_{1} - 2 < 3 a x_{2} + 2 a$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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20、直线 $(m + 1) x - (m - 2) y - 3 = 0$ 过定点 $A$ ，则点 $A$ 的坐标为.

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