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相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{P C} = 2 \vec{B P}$ ， $O$ 是线段 $A P$ 的中点，过点 $O$ 的直线与线段 $A B, A C$ 分别交于点 $E, F$ ．

(1)、若 $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，请用向量 $\vec{A B}, \vec{A C}$ 来表示向量 $\vec{A O}, \vec{E O}$ ；

(2)、若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} (0 \leq λ \leq 1), \vec{A F} = μ \vec{A C} (0 \leq μ \leq 1)$ ，求 $2 λ + μ$ 的最小值．

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $b = \sqrt{3} R$ （ $R$ 是 $△ A B C$ 的外接圆半径）.

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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3、（1）已知 $α, β$ 都是锐角， $tan α = \frac{1}{7}$ ， $sin β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $tan (α + 2 β)$ 的值；
（2）已知 $cos α + cos β = \frac{1}{2}$ ， $sin α + sin β = \frac{1}{3}$ ，求 $cos (α - β)$ 的值．

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4、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $|\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角θ．

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5、设 $D$ 、 $E$ 分别是 $Δ A B C$ 的边 $A B$ ， $B C$ 上的点， $A D = \frac{1}{2} A B$ ， $B E = \frac{2}{3} B C$ . 若 $\overset{⃑}{D E} = λ_{1} \overset{⃑}{A B} + λ_{2} \overset{⃑}{A C}$ （ $λ_{1}, λ_{2}$ 为实数），则 $λ_{1} + λ_{2}$ 的值是

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6、函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则 $f (x) =$ .

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7、如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（）

A、ω＝ $\frac{2 π}{15}$ ， A＝3 B、ω＝ $\frac{15}{2 π}$ ， A＝3 C、ω＝ $\frac{2 π}{15}$ ， A＝5 D、ω＝ $\frac{15}{2 π}$ ， A＝5

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8、若 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $tan θ = 2 \sqrt{5} cos θ$ ，则 $cos 2 θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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9、 $△ A B C$ 的三边分别为1，2， $\sqrt{7}$ ，则这个三角形的最大内角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3}{4} π$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10、已知 $A (1, 2)$ ， $B (4, 3)$ ， $C (x, 6)$ ，若 $\vec{A B} ∥ \vec{A C}$ ，则 $x =$ （）

A、10 B、11 C、12 D、13

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} + (a + 2) x^{2} + b x - a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值为 $- 2$ .

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n}$ = $\frac{1}{3} f^{'} (n) + 2$ ，记 $T_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}},$ 求 $T_{n}$ .

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12、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, \{2 a_{n} - S_{n}\}$ 为常数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{\frac{1}{d_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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13、已知数列满足 $a_{1} = 3$ ，且对任意的 $n \in N*$ ，都有 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 (n \in N^{*})$ .

(1)、令 $b_{n} = a_{n} - 2$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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14、函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ，过点 $A (a, 0)$ ， $a \in R$ ，可以作函数 $f (x)$ 的两条切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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15、已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 $T (t) = \frac{120}{t + 5} + 15$ ，其中 $T (t)$ 为蜥蜴的体温（单位：℃）， $t$ 为太阳落山后的时间（单位：min）.当 $t = 4$ min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min.

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16、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + a}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ B、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 1$ C、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上不存在斜率为0的切线 D、当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为0

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - \frac{1}{2047}$ ，当 $T_{n}$ 取最小值时， $S_{n}$ ＝（）

A、 $\frac{1023}{2047}$ B、1 C、2 D、 $\frac{4095}{2047}$

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18、设数列 $\{a_{n}\}$ 是以2为首项，1为公差的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + a_{b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + a_{b_{8}} =$ （）

A、264 B、520 C、521 D、263

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 6$ ， $a_{n + 1} - 2 = a_{n} + 2 n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{19}} =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{18}{19}$ D、 $\frac{19}{20}$

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20、曲线 $y = ln (x - 1)$ 在 $x = 2$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $135^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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