四川省元三维大联考2025届高三第三次诊断性测试数学试卷

试卷更新日期：2025-04-25 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $|z - i| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、5

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2. 已知空间中两条直线 $l, m$ ，及平面 $α$ ，且满足 $m \subset α$ ， “ $l ⊥ m$ ”是“ $l ⊥ α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 为考察某种药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 的效果，进行了动物试验，根据120个有放回随机样本的数据，得到如下列联表：
药物 $A$
疗效
合计
未患疾病 $B$
患疾病 $B$
未服用
10
50
60
服用
18
42
60
合计
28
92
120
经计算得到 $χ^{2} \approx 2.981$ ，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验（已知 $χ^{2}$ 独立性检验中 $x_{0.05} = 3.841$ ），结论为（）

A、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 没有效果 B、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 没有效果，这种判断犯错误的概率不超过 $0.05$ C、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效果 D、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效果，这种判断犯错误的概率不超过 $0.05$

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4. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ ，则满足 $f (1 - m) > f (m + 1)$ 的实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- \infty, 0)$

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5. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} + S_{3} = 12, a_{4} + S_{4} = 10$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 18$ C、0 D、12

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6. 已知直线 $x - y = 0$ 是曲线 $y = 2 x - \ln (a x) (a > 0)$ 的一条切线，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、 $e$ D、 $2 e$

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7. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，纵坐标为 $\sqrt{2}$ 的点 $M$ 在 $C$ 上．若以 $M$ 为圆心， $|M F|$ 为半径的圆被 $y$ 轴截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $p =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，且满足 $\cos (α + β) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin 2 α \sin 2 β$ 最小值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = \tan (π x - \frac{π}{3})$ ，下列说法正确的是（）

A、1是 $f (x)$ 的周期 B、 $f (x)$ 的定义域为 $\{x |x \neq k + \frac{π}{6}, k \in Z\}$ C、 $f (- \frac{1}{4}) < f (\frac{1}{4})$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{1}{6}, 0)$ 对称

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10. 动圆 $P$ 过定点 $A (- \sqrt{6}, 0)$ ，且与圆 $B$ ${(x - \sqrt{6})}^{2} + y^{2} = 32$ 相内切于点 $M$ ，记圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ ．则（）

A、曲线 $E$ 的方程为： $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、动圆 $P$ 面积的最小值为 $(14 - 8 \sqrt{3}) π$ C、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为3 D、 $∠ A P M$ 的最小值是 $\frac{π}{3}$

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11. 已知集合 $S = \{(x, y) |x > 0, y > 0, x + y = 6, 且 x y - 3 k \geq 0\} (k > 0)$ ，则称集合 $S$ 为 $k -$ 分集．下列说法正确的是（）

A、当 $k = 3$ 时， $\{(3, 3)\}$ 是唯一的 $k -$ 分集 B、对任意 $k > 3$ ，总存在至少一个 $k -$ 分集 C、若 $S$ 是 $2 -$ 分集，则 $|x - y| \geq 2 \sqrt{3}$ D、若 $S$ 是 $1 -$ 分集，则 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} < 24$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{e}$ 为单位向量，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 上的投影向量为 $- \sqrt{3} \vec{e}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为．

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13. 在如下 $3 \times 3$ 的数阵中选出3个数，要求这3个数既不在同一行，也不在同一列．若这3个数的极差不大于5，那么满足条件的选法共有种．
2
5
7
4
9
10
6
8
11

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14. 已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B D$ 中点， $A_{1}, A, B, E$ 四点都在球 $O_{1}$ 的球面上，且 $A_{1}, A, D, E$ 四点都在球 $O_{2}$ 的球面上，记球 $O_{1}$ 与球 $O_{2}$ 两球面上的所有公共点构成轨迹 $W$ ，则 $W$ 的周长为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 记 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 7, b = 8, 8 \sin A + 7 \sin B = 8 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，求 $c$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - a x - 4 a$ ．

(1)、若 $0 < a < 3$ ，试判断函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 内的极值点个数，并说明理由；

(2)、当 $a = 3$ ， $x > 0$ 时，求证： $f (x) < (x - 4) e^{x}$ ．（参考数据： $e^{3} \approx 20.1$ ）

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17. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，在对角线 $B D_{1}$ 上取一点 $E$ ，使得平面 $A C E //$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ ．

(1)、求证： $\vec{B_{1} E} = 2 \vec{E O}$ ；

(2)、若平面 $C C_{1} D_{1} D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $D D_{1} = D C = B C = B D = 2, B D_{1} = \sqrt{6}$ ，求 $B E$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值．

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18. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，且点 $F$ 到双曲线 $C$ 的渐近线的距离为 $1$ ．过点 $P (3, 0)$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 交双曲线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点， $l_{2}$ 交双曲线 $C$ 于 $D$ 、 $E$ 两点， $M$ 、 $N$ 分别是 $A B$ 、 $D E$ 的中点，直线 $M N$ 过定点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ；再过点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 作两条互相垂直的直线 $l_{3}$ 和 $l_{4}$ ， $l_{3}$ 交双曲线 $C$ 于 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 两点， $l_{4}$ 交双曲线 $C$ 于 $D_{1}$ 、 $E_{1}$ 两点， $M_{1}$ 、 $N_{1}$ 分别是 $A_{1} B_{1}$ 、 $D_{1} E_{1}$ 的中点，直线 $M_{1} N_{1}$ 过定点 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 、 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 、 $P_{3} (x_{3}, y_{3})$ 、 $\dots$ 、 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求点 $P_{1}$ 的坐标；

(3)、若 $Q (1, 0)$ 、 $R (1, 1)$ ，记 $△ Q R P_{n} (n \geq 1, n \in N^{*})$ 的面积为 $S_{n}$ ，证明： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < 2$ ．

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19. 图是计算机科学中的一种极为重要的模型．图的连通性常应用于计算机网络、智能导航及AI算法优化等领域中．一个图 $G$ 由顶点集 $V$ 与边集 $E$ 组成，记为 $G = (V, E)$ ．顶点集 $V$ 是这个图所有顶点的集合，图中任意3个顶点不在同一直线上．图的边是指两个不同的顶点直接相连成的线段，边集 $E$ 就是这个图所有边的集合．如图所示为一个由4个顶点组成的图 $G^{'}$ ，其顶点集 $V^{'} = \{A, B, C, D\}$ ，边集 $E^{'} = \{A B, B C, B D\}$ ．若图 $G$ 中依次存在一组边： $A_{0} A_{1}, A_{1} A_{2}, \dots, A_{m - 1} A_{m}$ ，则称顶点 $A_{0}, A_{m}$ 相互可达．如果图 $G$ 中任意两个顶点相互可达，则称图 $G$ 是连通的，如右所示的图 $G^{'}$ 就是连通的．
一个有含有 $n$ 个顶点的图 $G_{n}$ ，任意两个顶点间有边的概率为 $\frac{1}{2}$ ．设图 $G_{n}$ 是连通的概率为 $R (n)$ ，定义 $R (1) = 1$ ．

(1)、当 $n = 3$ 时，在顶点 $A$ 与顶点 $B$ 相互可达的条件下，求 $A$ 与 $B$ 之间有边的概率；

(2)、当 $n = 4$ 时，求恰有3个顶点相互可达的概率；

(3)、求 $R (5)$ ．

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药物 $A$	疗效		合计
药物 $A$	未患疾病 $B$	患疾病 $B$	合计
未服用	10	50	60
服用	18	42	60
合计	28	92	120