山东省济宁市2025届高考模拟考试(二模)数学试题

试卷更新日期：2025-04-27 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 2 > 0\}$ ， $B = \{x ∣ y = lg (x - 1)\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 2]$ D、 $[- 1, + \infty)$

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2. 已知 $1 - 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a, b \in R)$ 的一个根，则 $|a + b i| =$ （）

A、2 B、3 C、5 D、 $\sqrt{29}$

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3. 已知圆锥的体积为 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ ，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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4. 若函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - a x}$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a \leq 1$ D、 $a \geq 1$

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5. 已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 1$ ，则“ $a_{5} = 2$ ”是“ $a_{9} = 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = sin ω x - \sqrt{3} cos ω x + \sqrt{3} (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有且仅有3个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{14}{3}, \frac{20}{3})$ B、 $[4, \frac{16}{3})$ C、 $[4, \frac{22}{3}]$ D、 $[4, \frac{22}{3})$

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7. 若圆 $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 y - 1 = 0$ 关于直线 $x + b y - 2 = 0$ 对称，其中 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4 a + 1}{b}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、4 D、 $2 + 2 \sqrt{5}$

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8. 已知 $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，直线 $y = \frac{4}{3} x$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $A F ⊥ B F$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $A$ ， $B$ 为随机事件，且 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.4$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $A$ ， $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = 0.9$ B、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (A \bar{B}) = 0.2$ C、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = 0.7$ D、若 $P (B ∣ A) = 0.5$ ，则 $P (B ∣ \bar{A}) = 0.3$

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10. 已知函数 $f (x) = cos x - sin (cos x) - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $2 π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上为增函数 D、 $f (x) < - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 在正方体的内切球表面上运动，且满足 $B P / /$ 平面 $A C D_{1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $B P ⊥ B_{1} D$ B、点 $P$ 的轨迹长度为 $π$ C、线段 $B P$ 长度的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\vec{B P} \cdot \vec{B C_{1}}$ 的最小值为 $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4^{x} + 1, x \leq 1, \\ - {log}_{2} (x + 1), x > 1, \end{array}$ 则 $f (f (\frac{1}{2}))$ 的值为.

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13. 已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为 $C$ 上的动点，点 $A (1, - 1)$ ，则 $\frac{|P F|}{|P A|}$ 取最小值时，直线 $P A$ 的斜率为.

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14. 箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为 $i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ ，则从该箱子中一次性取出 $i$ 个球.规定：依据 $i$ 个球中红球的个数，判定甲的得分 $X$ ，每一个红球记1分；依据 $i$ 个球中黄球的个数，判定乙的得分 $Y$ ，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分 $X = 2$ ，乙得分 $Y = 4$ .则在1次掷骰子取球的游戏中， $P (X > Y) =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a (2 - cos B) = b (1 + cos A)$ .

(1)、证明： $b + c = 2 a$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} b c$ ，证明 $△ A B C$ 为等边三角形.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $E$ 为 $P C$ 的中点， $P A = A D$ ， $P D ⊥ B E$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P D = A D$ ，直线 $P B$ 与平面 $P D A$ 所成角的正切值等于2，求平面 $A B E$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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17. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ，且点 $A (4, 3)$ 在双曲线 $C$ 上，

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 交 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点， $∠ P A Q$ 的平分线与 $x$ 轴垂直，求证： $l$ 的倾斜角为定值.

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18. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、若 $|f (x)| > a x (ln x + 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1行   1   2   3   ……   7   8   9
第2行   10   11   12   ……   97   98   99
第3行   100   101   102   ……   997   998   999
第4行   1000   1001   1002   ……   9997   9998   9999
…………

(1)、将数列 $\{3 n + 1\}$ 与数列 $\{2^{n}\}$ 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列 $\{a_{n}\}$ ，试确定 $a_{6}$ 在该数阵中的位置；

(2)、将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第 $n$ 行中正整数的个数为 $b_{n}$ .
（i）求 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ；
（ii）求 $b_{n}$ .

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