甘肃省金昌市金川高级中学2025届高三下学期高考冲刺（一）数学试卷

试卷更新日期：2025-05-06 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}, B = {x ∣ x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 1\}$

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2. 若 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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3. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{a}, x \geq 0, \\ a^{x}, x < 0, \end{matrix}$ 且 $f (16) = 2$ ，则 $f (- 1) =$ （）.

A、 $\frac{1}{2}$ . B、 $\frac{1}{4}$ . C、2. D、4.

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4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的起点和终点均在格点上，则向量 $\vec{b} + \vec{c}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{3}{2} \vec{a}$ D、 $- \vec{a}$

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5. 若 $sin α = cos α + \frac{3}{5}$ ，则 $tan α + \frac{1}{tan α} =$ （）

A、 $\frac{8}{25}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $\frac{25}{8}$ D、 $\frac{25}{16}$

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6. 已知数列 $\{{log}_{2} a_{n} + 1\}$ 是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前10项和为（）

A、 $2^{10} - 1$ B、 $\frac{4^{10} - 1}{3}$ C、 $2^{11} - 2$ D、 $\frac{2^{21} - 2}{3}$

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7. 函数 $y = sin 2 x$ 与 $y = sin \frac{x}{2}$ 的图象在区间 $[- 2 π, 2 π]$ 上的交点个数为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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8. 如图， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A, B$ 都在双曲线 $C$ 上，四边形 $A B F_{2} F_{1}$ 为等腰梯形，且 $|A F_{1}| = |F_{1} F_{2}| = |B F_{2}| = 2 c$ ， $∠ A B F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3} + 1$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 某研究机构在训练人工智能模型时，有两种训练算法甲和乙，使用算法甲训练了30次，每次训练耗时的平均数为2，方差为0.25，使用算法乙训练了20次，每次训练耗时的平均数为1.5，方差为0.3，则（）

A、总体每次训练平均耗时1.8小时 B、总体每次训练平均耗时1.75小时 C、总体每次训练耗时的方差为0.28 D、总体每次训练耗时的方差为0.33

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10. 如图，在圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中，轴截面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $M$ 是以 $A O_{2}$ 为直径2的圆上一动点（异于点 $A, O_{2}$ ）， $A M$ 与圆柱的底面圆交于点 $N$ ，则（）

A、 $M O_{2}$ $∥$ 平面 $N B O_{1}$ B、平面 $M O_{1} O_{2} ⊥$ 平面 $A N O_{1}$ C、直线 $N B$ 与直线 $A O_{1}$ 有可能垂直 D、三棱锥 $M - A O_{1} O_{2}$ 的外接球体积为定值

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11. 如图，在 $4 \times 4$ 的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化.
例如：
4
4
1
3
4
3
2
1
1
2
3
2
2
1
4
3
下列 $4 \times 4$ 的方格中，哪些图形可由上图经过4次移动得到（）

A、
4
4
1
3
4
3
2
1
1
2
3
2
2
1
4
3
B、
4
2
4
3
1
1
1
1
2
4
2
2
4
3
3
3
C、
3
4
4
4
1
3
1
1
2
2
2
2
4
1
3
3
D、
4
4
1
3
4
3
4
1
3
2
1
2
2
1
2
3

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $P$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 上的动点， $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，且 $|P A| + |P B| = 6$ ，则 $n =$ .

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13. 函数 $f (x) = |ln x| + 2 x$ 的最小值为.

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14. 现从一含10个元素的集合 $S$ 的子集中随机选出2个不同的子集，被选出的子集之间必须满足包含或被包含的关系，则满足该选取条件的选法有种.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $cos B = \frac{b}{c} = \frac{a + b}{2 c}$ .

(1)、证明： $a = c cos B$ .

(2)、求 $C$ .

(3)、若 $a = 3, D$ 为 $A B$ 上靠近点 $A$ 的三等分点，作 $B E ⊥ C D$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，求 $cos ∠ E B D$ .

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16. 某学校高三年级组织了一场校内知识挑战赛，共有5个班级参与，每个班级推选1名学生代表参加，其中1名学生代表来自A类班级，4名学生代表来自B类班级，学生甲是B类班级代表之一.在某一轮比赛中，随机选择两名学生代表进行比赛.若是同类班级代表比赛，则双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；若是A类班级代表与B类班级代表比赛，则B类班级代表获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ .

(1)、已知学生甲参赛，求在一轮比赛中，学生甲获胜的概率；

(2)、若每两个班级代表各进行一轮比赛，记B类班级代表甲获胜的轮数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

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17. 如图所示，在边长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $A B, B C$ 上的点（异于端点），且 $A E = F C$ ．

(1)、证明： $A_{1} E$ 与 $C_{1} F$ 相交且交点在直线 $B B_{1}$ 上．

(2)、当直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $C_{1} A_{1} E$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ 时，求 $A E$ 的值．

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18. 已知抛物线 $T : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过抛物线上一点 $A (1, p)$ 作两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别交抛物线 $T$ 于 $B, C$ 两点，直线 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 4$ .

(1)、求抛物线 $T$ 的方程.

(2)、证明：直线 $B C$ 过定点.

(3)、记直线 $B C$ 经过的定点为 $M, N$ 为直线 $B C$ 上一点（异于点 $M$ ），且满足 $\frac{|B M|}{|C M|} = \frac{|B N|}{|C N|}$ ，证明点 $N$ 在某定直线上，并求出该定直线的方程.

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19. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ .若实数 $λ$ 满足对任意的 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} - λ {(x_{1} - x_{2})}^{2}$ ，则称 $f (x)$ 满足 $P (λ)$ 性质.

(1)、若函数 $f (x) = a x^{2}$ 满足 $P (\frac{1}{2})$ 性质，求实数 $a$ 的取值范围.

(2)、设 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x) (x \in R)$ ，且对任意的 $x_{1}, x_{2} \in R, x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $[f^{'} (x_{1}) - f^{'} (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) > 8 λ {(x_{1} - x_{2})}^{2}$ .
（i）证明： $f (x)$ 满足 $P (λ)$ 性质.
（ii）已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{f (n)}{n} - 4 λ n (n \in N^{*})$ ，若 $f (0) = 0$ ，证明： $a_{n + 1} \geq a_{n}$ .

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