湖南省益阳市安化县第二中学2025届高三下学期5月模拟数学试题

试卷更新日期：2025-06-07 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知集合 $A = \{x |x^{2} \leq 6\}, B = \{x \in Z |- 2 < x \leq e, e \approx 2.71828\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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2. 已知i为虚数单位，若 $(1 - i) (2 + a i)$ 是实数，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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3. 已知向量 $\vec{a} = (0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{b} - 4 \vec{a})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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4. 已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，点M在C上，若M到直线 $x = - 3$ 的距离为5，则 $| M F | =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 函数 $f (x) = \cos 2 x - \sin x$ 在 $(- 2 π, 2 π)$ 内的零点之和为（）

A、 $- π$ B、 $- 2 π$ C、 $- \frac{π}{2}$ D、0

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6. 已知圆锥的母线长为 $2 \sqrt{3}$ ，其外接球体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，则该圆锥的表面积为（）

A、3π B、6π C、9π D、12π

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7. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 8 = 0$ 的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l： $x + y + 4 = 0$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，则 $d_{1} d_{2}$ 的最大值为（）

A、16 B、32 C、48 D、64

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8. 若函数 $f (x) = - a \ln x + \frac{x^{2} - 1}{2}$ 有两个零点，则a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 某团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示，

年龄	28	29	30	32	36	40	45
人数	1	3	3	5	4	3	1

有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（）

A、众数是32 B、众数是5 C、极差是17 D、25%分位数是30

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10. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为4，且满足 $2 (n + 1) a_{n} - n a_{n + 1} = 0 (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 为等差数列 B、 $\{a_{n}\}$ 为递增数列 C、 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 4$ D、 $\{\frac{a_{n}}{2^{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$

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11. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 3$ ，点M是线段 $B_{1} C_{1}$ 上一点，则下列说法正确的是（）

A、当M为 $B_{1} C_{1}$ 的中点时， $A_{1} M ⊥$ 平面 $M B C$ B、四面体 $A_{1} B C M$ 的体积为定值 C、 $A_{1} M + B M$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{6}}{2}$ D、四面体 $A_{1} B C M$ 的外接球半径的取值范围是 $[\sqrt{6}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}]$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的二项展开式中的常数项是．

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13. 设实数 $f (x) = 2 x \ln x$ ， $g (x) = a x - 4$ ， $\exists x \in (0, + \infty)$ 使 $f (x) \leq g (x)$ 成立，则实数α的取值范围．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = \log_{2} \frac{n + 2}{n + 1}$ ，给出定义：使数列 ${a_{n}}$ 的前k项和为正整数的k（ $k \in N^{*}$ ）叫做好数，则在 $[1, 2025]$ 内的所有“好数”的和为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A C = 2$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $∠ C A B = \frac{π}{6}$ ，平面PAD与平面PBC的交线为l，且 $A D / / l$ ．

(1)、证明 $A D ⊥ P B$ ；

(2)、若 $\vec{P E} = \frac{1}{3} \vec{P C}$ ，求平面ABE与平面PCB夹角的余弦值．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 1$ ，且 $b \cos A - \cos B = 1$ ．

(1)、若 $C = \frac{π}{4}$ ，求A；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = e^{a x} \ln x$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若 $y = f (x)$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为 $\frac{\sqrt{e}}{2}$ ，求a的值；

(2)、若 $x = x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极小值点，试比较 $f (x_{0})$ 与 $- e$ 的大小．

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18. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左顶点为A，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l与椭圆C交于M，N两点，点P为 $△ A M N$ 的外心．
①若 $△ A M N$ 为等边三角形，求PA的长；
②若点P在直线 $x = - \frac{1}{3}$ 上，求点A到直线l距离的最大值．

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19. 若数列 ${a_{n}}$ （ $1 \leq n \leq k$ ， $n \in N$ ， $k \in N$ ）满足 $a_{n} \in {0, 1}$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为k项 $0 - 1$ 数列，集合 $M_{k}$ 是由所有k项 $0 - 1$ 数列组成的集合，从集合 $M_{k}$ 中任意取出两个不同数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 记变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} | a_{i} - b_{i} |$

(1)、当 $k = 2$ 时，求集合 $M_{2}$ ；

(2)、若 $k = 3$ ，求随机变量X的分布列与数学期望；

(3)、求 $P (X = m)$ ，其中 $m = 1, 2, \dots, k$ 且 $m \in N$ ．

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