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相关试卷

1、在 $[0, 2 π]$ 内函数 $f (x) = \sqrt{1 - 2 cos x} + ln (sin x - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的定义域是（）

A、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ B、 $[\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{3}, \frac{3 π}{4})$ D、 $[\frac{π}{3}, \frac{3π}{4}]$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{ln (e x)}{a x}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若方程 $f (x) = 1$ 有两个不同的根 $x_{1}, x_{2}$ ．
(i)求 $a$ 的取值范围；
(ii)证明： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 2$ ．

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3、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos (2 x - \frac{π}{3}) - \sin x \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} (\cos^{4} x - \sin^{4} x)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、若方程 $f (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围.

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4、已知1是函数 $f (x) = a x^{3} + b x + c$ （a，b， $c \in R$ ）的极值点， $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线与直线 $y = \frac{1}{3} x$ 垂直.

(1)、求a，b的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上有最大值2，在 $(- 2, m)$ 上有最小值也有最大值，求实数m的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ .

(1)、完善下面的表格并作出函数 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的图象：
$2 x - \frac{π}{6}$
$- \frac{π}{6}$
0

$π$

$\frac{11 π}{6}$
$x$

$\frac{5 π}{6}$

$f (x)$

1

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平 $\frac{π}{3}$ 个单位后再向上平移1个单位得到 $g (x)$ 的图象，解不等式 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ .

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6、已知函数 $f (x) = s i n (π x + φ) (|φ| < π)$ 的图象过点 $(\frac{1}{3}, 1)$ ，若 $f (x)$ 在 $[- 2, a]$ 内有5个零点，则 $a$ 的取值范围为.

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7、已知 $\frac{π}{2} < β < α < \frac{3 π}{4}$ ， $\cos (α - β) = \frac{12}{13}$ ， $\sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ .

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8、已知函数 $f (x) = a - \frac{1}{2^{x} - 1} (a \in R)$ 为奇函数，则实数 $a$ 的值为.

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9、已知函数 $f (x) = sin x + cos x + x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{4}, - \frac{π}{4})$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $x = \frac{π}{2}$ 是 $f (x)$ 的极大值点

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10、已知 $\tan α = 2 \tan β$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\tan α = \tan 2 β$ ，则 $\tan α = \tan β = 0$ B、若 $\sin α \cos β = \frac{2}{5}$ ，则 $\cos (2 α + 2 β) = \frac{7}{25}$ C、若 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\tan (α - β)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\exists α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，使得 $α = 2 β$

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11、如果关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 a x + b - 1 > 0$ 的解集为 $\{x ∣ x \neq a\}$ ，那么下列数值中， $b$ 可取到的数为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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12、已知直线 $x = x_{1}, x = x_{2}$ 是函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}), (ω > 0)$ 图象的任意两条对称轴，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $[k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{2 π}{3}], k \in Z$ B、 $[k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{π}{6}], k \in Z$ C、 $[2 k π + \frac{π}{3}, 2 k π + \frac{4 π}{3}], k \in Z$ D、 $[2 k π - \frac{π}{12}, 2 k π + \frac{5 π}{12}], k \in Z$

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13、已知 $f (x) = \frac{a^{x} + b}{a^{x} - b}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）是 $R$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{3}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、把区间 $(0, 2)$ 等分成 $2 n$ 份，记等分点的横坐标依次为 $x_{i}, i = 1, 2, 3, \dots, 2 n - 1$ ， $g (x) = \frac{5}{4} - \frac{2}{2^{x - 1} + 1}$ ，记 $F (n) = g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3}) + \dots + g (x_{2 n - 1}) (n \in N^{*})$ ，是否存在正整数n，使不等式 $\frac{f (2 x)}{f (x)} \geq F (n)$ 有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由；

(3)、函数 $f (x)$ 在区间 $[m, n] (m < n)$ 上的值域是 $[\frac{k}{2^{m}}, \frac{k}{2^{n}}] (k \in R)$ ，求 $\frac{k}{a}$ 的取值范围．

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14、已知 $f (x + 2) = 2 x - 2$ ，且 $f (a) = 4$ ，则 $a =$ （）

A、 $10$ B、 $6$ C、 $5$ D、 $3$

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 2$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $P A / /$ 面 $E D B$ ；

(2)、求平面 $C P B$ 与平面 $P B D$ 的夹角的大小；

(3)、求点 $B$ 到平面 $E F D$ 的距离．

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16、若 $a = \frac{\ln 2}{2}$ ， $b = \frac{1}{e}$ ， $c = \frac{\ln 3}{3}$ ，则以下不等式正确的是（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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17、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + a}{2^{x} + 1}$ 是奇函数。

(1)、求 $a$ 的值

(2)、判断并证明该函数在定义域 $R$ 上的单调性

(3)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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18、已知函数 $f (x) = a \sin x$ ， $a \in Z$ .若 $y = f (f (x))$ 的零点恰为 $y = f (x)$ 的零点，则a的最大值是.

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19、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则 $p =$ ．

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20、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, x)$ ，则（）

A、当 $x = 2$ 时， $\vec{a} + \vec{b} = (- 1, 4)$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = - 1$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = 1$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $x \in (- \infty, - 4) \cup (- 4, 1)$

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$2 x - \frac{π}{6}$	$- \frac{π}{6}$	0		$π$		$\frac{11 π}{6}$
$x$					$\frac{5 π}{6}$
$f (x)$			1