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相关试卷

1、如图，在圆锥 $P O$ 中， $A C$ 为圆锥底面的直径， $B$ 为底面圆周上一点，点 $D$ 在线段 $B C$ 上， $A C = 2 A B = 4$ ， $C D = 2 D B$ ．

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $B O P$ ；

(2)、若圆锥 $P O$ 的侧面积为 $8 π$ ，求二面角 $O - B P - A$ 的正弦值．

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2、记 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} sin A - cos A = 2$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $\sqrt{2} b sin C = c sin 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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3、如图，在 $4 \times 4$ 的格子中，有一只蚂蚁从 $A$ 点爬到 $B$ 点，每次只能向右或向上移动一格，则从 $A$ 点爬到 $B$ 点的所有路径总数为，若蚂蚁只在下三角形（对角线 $A B$ 及以下的部分所围成的三角形）行走，则从 $A$ 点到 $B$ 点的所有总路径数为．

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4、在 ${(\frac{3}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{3})}^{8}$ 的展开式中，常数项为．

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5、已知 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} =$ ．

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6、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，其导函数为 $g (x)$ ，若函数 $y = f (x + 1) - 1$ 是奇函数，函数 $y = g (x + 2)$ 为偶函数，则下列说法错误的是（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $g (1) = 1$ C、 $y = f (x + 2) - 1$ 为奇函数 D、 $\sum_{i = 1}^{2024} f (i) = 1012$

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7、过抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作倾斜角为 $θ$ 的直线交 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，经过点 $A$ 和原点 $O$ 的直线交抛物线的准线于点 $D$ ，则下列说法正确的是（）．

A、 $B D / / O F$ B、 $O A ⊥ O B$ C、以 $A F$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切 D、 $|A F| |B F| = \frac{p^{2}}{\sin^{2} θ}$

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8、已知随机变量 $X$ 服从正态分布，即 $X ~ N (3, 9)$ ，则（）．

A、 $E (X) = 27$ B、 $D (X) = 9$ C、 $P (X \geq 8) > P (X \leq - 1)$ D、 $P (X \leq 1) + P (X \leq 5) = 1$

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9、设函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x_{1}) = - 1$ ， $f (x_{2}) = 1$ ，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{4}$ ，则 $ω =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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10、在平面直角坐标系中，点 $A, B$ 的坐标分别是 $(- 5, 0)$ ， $(5, 0)$ ，直线 $A M$ ， $B M$ 相交于点 $M$ ，且它们的斜率之积是 $\frac{4}{9}$ ，则点 $M$ 的轨迹方程为（）．

A、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{9 y^{2}}{100} = 1 (x \neq \pm 5)$ B、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{3 y^{2}}{100} = 1 (x \neq \pm 5)$ C、 $\frac{y^{2}}{25} - \frac{3 x^{2}}{100} = 1 (x \neq \pm 5)$ D、 $\frac{y^{2}}{25} - \frac{9 x^{2}}{100} = 1 (x \neq \pm 5)$

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11、若过点 $(2 \sqrt{3}, 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切的两条直线的夹角为 $α$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12、已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = - \sqrt{2} x$ ，则 $m =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $8$ D、 $16$

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13、已知复数 $z = 1 + i$ ，则 $\frac{1}{z}$ 的虚部为（）．

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{i}{2}$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

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14、若平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{μ_{1}} = (- 3, y, 1)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\vec{μ_{2}} = (6, - 2, z)$ 且 $α / / β$ ，则 $y + z =$ .

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15、直线 $l : x + y - 2024 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $-$ 1 B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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16、已知函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = a^{x - 1} + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且 $f (2) = 16$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{f (x)}{f (x) + 2}$ ，证明： $g (x) + g (1 - x) = 1$ ；

(3)、若函数 $y_{1} = |f (x) + m|$ 与 $y_{2} = |f (- x) + m|$ 在区间 $[1, 2]$ 上都是单调的，且单调性相同，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、已知a为实数，函数 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = x - a$ ．

(1)、设 $k (x) = f (x) - g (x)$ ， $x \in [a - 1, a + 1]$ ，若函数 $k (x)$ 的最大值等于2，求a的值；

(2)、若对任意 $x_{1} \in [- 1, 2]$ ，都存在 $x_{0} \in [- 1, 3]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{0})$ ，求a的取值范围；

(3)、设 $h (x) = f (x) + |g (x)| + 1$ ，求 $h (x)$ 的最小值．

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18、已知函数 $f (x) = - \frac{x}{x^{2} + 4}, x \in (- 2, 2)$ ．

(1)、用定义法证明 $f (x)$ 是减函数；

(2)、解关于t的不等式 $f (t - 2) + f (3 t - 4) \geq 0$ ．

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19、（1）已知 $5^{m} = 2$ ， $5^{n} = 3$ ，求 $5^{\frac{3 m - 2 n}{2}}$ 的值；
（2）化简： $4 a^{\frac{2}{3}} b^{- \frac{1}{3}} \div (- \frac{2}{3} a^{- \frac{1}{3}} b^{- \frac{2}{3}}) \times \frac{1}{6} a^{- \frac{1}{3}} b^{- \frac{1}{3}}$ .

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + x, x \geq 0 \\ - 2 x, x < 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的不等式 ${[f (x)]}^{2} - (m + 1) f (x) + m < 0$ 恰有两个整数解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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