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相关试卷

1、直线 $l_{1}$ 上单位向量为 $(\frac{3}{5}, m)$ ，直线 $l_{2}$ 上有 $C$ ， $D$ 两点， $\vec{C D} = (t, t - 2)$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $t$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ 或 $\frac{8}{7}$ B、 $\frac{8}{7}$ C、 $8$ D、 $\frac{8}{7}$ 或 $8$

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2、 $\vec{a} = (t - 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2 - t, - 1)$ ，命题 $p : \vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，命题 $q : \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为钝角，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、 $f (x) = x - 1 - 2 \ln x$ ，则 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处切线方程为（）

A、 $y + x - 1 = 0$ B、 $y - x + 1 = 0$ C、 $x = 1$ D、 $y + 2 x - 2 = 0$

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4、若集合 $A = \{x| \sqrt{\log_{2} x} \leq 2\}$ ， $B = \{x| x^{2} < 16\}$ ，则 $A \cap B$ 为（）

A、 $(- 4, 16]$ B、 $(0, 4)$ C、 $[1, 4)$ D、 $[1, 16)$

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5、已知点 $P$ 在直线 $x - y = 0$ 上，点 $A (1, 3), B (3, 4)$ ，则当 $△ A B P$ 的周长取得最小值时，点 $P$ 的坐标为.

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{A C}, P$ 是 $B N$ 的中点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7、现有甲、乙两名蓝球运动员进行投篮练习，甲每次投篮命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投篮命中的概率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、为了增加投篮练习的趣味性，甲、乙两人约定进行如下游戏：甲、乙两人同时投一次篮为一局比赛，若甲投进且乙未投进，则认定甲此局获胜：若甲未投进乙投进，则认定乙此局获胜：其它情况认定为平局，获胜者此局得1分，其它情况均不得分，当一人得分比另一人得分多3分时，游戏结束，且得分多者取得游戏的胜利．求甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率．

(2)、投篮练习规定如下规则：甲、乙两人轮流投篮，若命中则此人继续投蓝，若未命中则对方投篮，第一次投篮由甲完成，设 $P_{n}$ 为第n次投篮由甲完成的概率．
①求第3次投篮由甲完成的概率；
②请表示第n次投篮由甲完成的概率．

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8、已知函数 $f (x) = \ln (x - 1) - m (x - 1) + 2$ ．
（1）若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 3$ 处的切线与直线 $2 x - y + 6 = 0$ 垂直，求 $f (x)$ 的极值；
（2）若 $f (x)$ 的图象恒在直线 $y = 2$ 的下方．
①求实数 $m$ 的取值范围；
②证明：对任意正整数 $n$ ，都有 $\ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \cdot \cdot \cdot + \ln (2 n) < \frac{2 n (1 + 2 n)}{5}$

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9、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, 2 n a_{n} - 2 S_{n} = n^{2} - n, n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2 - a_{n}}{2^{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项是3，且满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2^{n}$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 e^{x} + x, x \leq 0 \\ 2 x - 1, x > 0 \end{array}$ ，若 $x_{2} > x_{1}$ ，且 $f (x_{2}) = f (x_{1})$ ，则 $x_{2} - x_{1}$ 的最小值是，此时在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．

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12、在流行病学中，基本传染数 $R_{0}$ 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数， $R_{0}$ 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数 $R_{0} = 4$ ，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1365人大约需要的天数为．（初始感染者传染 $R_{0}$ 个人为第一轮传染，这 $R_{0}$ 个人每人再传染 $R_{0}$ 个人为第二轮传染……）

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13、已知 $f (x) = - 5 x + \sin x$ ，则满足 $f (a^{2}) + f (- 4) > 0$ 的实数 $a$ 的取值范围是．

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14、如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为 $a_{n}$ ，第n个图形的边长为 $b_{n}$ ，第n个图形的周长为 $L_{n}$ ，第n个图形的面积为 $S_{n}, n \in N^{*}$ ．则下列命题正确的是（）

A、 $a_{n} = 3 \times 4^{n - 1}$ B、 $S_{3} = \frac{40}{27} S_{1}$ C、 $b_{4} = \frac{1}{81}$ D、数列 $\{L_{n}\}$ 的前n项和为 $\frac{4^{n}}{3^{n - 2}} - 9$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = m$ （m为正整数）， $a_{n + 1} = \{\begin{cases} \frac{a_{n}}{2}, 当 a_{n} 为偶数时 \\ 3 a_{n} + 1, 当 a_{n} 为奇数时 \end{cases}$ ，若 $a_{6} = 1$ ，则m可能的取值有（）

A、3 B、4 C、5 D、32

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示．则对于任意 $x_{1}, x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，下列结论正确的是（）

A、 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ B、 $\frac{f^{'} (x_{1}) - f^{'} (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ C、 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ D、 $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2}$

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17、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} + {(- 1)}^{n} a_{n} = 2 n - 1$ ，前12项和为164，则 $a_{1}$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 3 n$ ，若首项为 $\frac{1}{2}$ 的数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{b_{n + 1}} - \frac{1}{b_{n}} = a_{n}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前2024项和为（）

A、 $\frac{1012}{2023}$ B、 $\frac{2025}{2024}$ C、 $\frac{2023}{2024}$ D、 $\frac{2024}{2025}$

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19、如图是函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的大致图象，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{8}{3}$

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20、已知函数 $y = x f^{'} (x)$ 的图象如下图所示（其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数），下面四个图象中 $y = f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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